Question

8．如圖，EB是直徑，O是圓心，CB，CD切半圓于B，D，CD交BE延長線于點A，若BC=6，AD=2AE，求半圓的面積．

Answer 1

分析 連接DE、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出DC=BC=6，∠ADE=∠ABD，證得△ADE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AB=2AD，設(shè)AD=x，則AB=2x，AC=AD+DC=x+6，然后根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求得AD的長，即可求得AE和AB，從而求得直徑，根據(jù)圓的面積公式求得即可．

解答 解：連接DE、BD，
∵CB，CD切半圓于B，D，
∴DC=BC=6，
∴∠ADE=∠ABD，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AD=2AE，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2AD，
設(shè)AD=x，則AB=2x，
∴AC=AD+DC=x+6，
∵CB切半圓于B，EB是直徑，
∴AB⊥BC，
∴AC²=AB²+BC²，即（x+6）²=（2x）²+6²，
解得x₁=4，x₂=0（舍去），
∴AE=2，AB=8，
∴BE=AB-AE=8-2=6，
∴圓的半徑為3，
∴半圓的面積=$\frac{1}{2}$π×3²=$\frac{9}{2}$π．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線，構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．