Question

如圖先將寬為1的長方形紙條，折出紙片的對角線，再將其較短的一邊按如圖所示的方式折疊，使得較短邊與對角線重合，此時點B、D恰好重合于同一點O．
（1）證明四邊形AECF為菱形，并說明理由；
（2）求出此時四邊形AECF的面積．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為長方形，
∴AD=BC，CD∥AB．
由折疊可知AO=AD，CO=BC，
∴AO=CO．
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC．
由折疊易知∠COF=∠AOE=90°，
∴△CFO≌△AEO．
∴FO=EO．
又∵AO=CO，
∴四邊形AECF為平行四邊形．
又∵EF⊥AC，
所以四邊形AECF為菱形．

（2）∵四邊形AECF為菱形，
∴∠EAO=∠FAO=∠DAF=30°．
在Rt△ADF中，AD=1，
∴DF=，AF=．
∴S_菱形AECF=AE•AD=×1=．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證明該四邊形的對角線互相垂直平分即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求得∠EAO=∠FAO=∠DAF=30°，利用解直角三角形的知識求得AE的長，從而求得菱形的面積．
點評：此題綜合運用了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的知識．