Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=x²+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y=-x+3過B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P在第一象限對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∠PBA的正切值為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線與另一點(diǎn)D，連接DP，當(dāng)∠DPB=2∠PBA時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得打關(guān)于b、c的方程組求得b、c的值即可；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥OB，垂足為D．先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t²-4t+3），接下來用含t的式子表示出PD與BD的長(zhǎng)，然后依據(jù)正切函數(shù)的定義可求得m與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過點(diǎn)P作PF∥BO，過點(diǎn)D作DF⊥PF，垂足為F，過點(diǎn)B作BE⊥PF，垂足為E．先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t²-4t+3），則PF=4-t，DF=-t²+4t+1．接下來證明△PEB∽△PFD，由相似三角形的性質(zhì)可得打關(guān)于t的方程，從而可求得t的值，由t的值最后即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將x=0代入y=-x+3得：y=3，
∴C（0，3）．
∵將y=0代入y=-x+3得：-x+3=0，解得x=3，
∴B（3，0）．
∵將C（0，3）、B（3，0）代入y=x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．
（2）如圖1所示：過點(diǎn)P作PD⊥OB，垂足為D．

∵將y=0代入y=x²-4x+3得：x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
∴A（1，0）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t²-4t+3），則BD=3-t，PD=t²-4t+3．
∵tan∠PBA=$\frac{PD}{BD}$，
∴m=$\frac{{t}^{2}-4t+3}{3-t}$=$\frac{（t-1）（t-3）}{3-t}$=1-t．
∴m與t的函數(shù)關(guān)系式為m=1-t（0＜t＜1）．
（3）如圖2所示：過點(diǎn)P作PF∥BO，過點(diǎn)D作DF⊥PF，垂足為F，過點(diǎn)B作BE⊥PF，垂足為E．

∵將y=3代入y=x²-4x+3得：x²-4x+3=3，解得x₁=0，x₂=4，
∴D（4，3）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t²-4t+3），則PF=4-t，DF=4-（t²-4t+3）=-t²+4t+1．
∵PF∥OB，
∴∠FPB=∠PBA．
又∵∠DPB=2∠PBA，
∴∠DPF=∠EPB．
又∵∠BEP=∠DFP=90°，
∴△PEB∽△PFD．
∴$\frac{DF}{PF}=\frac{BE}{PE}$=tan∠PBA=1-t．
∴$\frac{-{t}^{2}+4t+1}{4-t}$=1-t．
整理得：2t²-9t+3=0，
解得：t₁=$\frac{9+\sqrt{57}}{4}$（舍去），t₂=$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$．
∴t²-4t+3=（$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$）²-4×$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$+3=$\frac{21-\sqrt{57}}{8}$．
∴P（$\frac{9-\sqrt{57}}{4}$，$\frac{21-\sqrt{57}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、三角函數(shù)的定義、相似三角形的性質(zhì)和判定、解一元二次方程，構(gòu)造△PEB∽△PFD，由相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．