Question

如圖，已知拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一交點D在第二象限．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式．

（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）若∠DBA=30°，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）首先求出點A、B坐標，然后根據(jù)OA=OC，求得點D坐標，代入拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0），求得拋物線解析式；

（2）因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答圖2，按照以上兩種情況進行分類討論，分別計算；

（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+DF．如答圖3，作輔助線，將AF+DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．

【解答】解：（1）拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點，

令y=0，解得x=﹣1或x=2，

則A（﹣1，0），B（2，0），

∵OA=OC，

∴C（0，﹣1），

∵點C（0，﹣1）在拋物線y=m（x+1）（x﹣2）上，

∴m×（0+1）×（0﹣2）=﹣1，

解得m=．

∴拋物線的函數(shù)表達式為：y=（x+1）（x﹣2）．

（2）因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．

因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2﹣1所示．

設P（m，n），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=m，PN=n．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：n=m+1，

∴P（m，m+1），代入拋物線解析式y(tǒng)=（x+1）（x﹣2），

得（m+1）（m﹣2）=m+1，

解得：m=4或m=﹣1（與點A重合，舍去），

∴P（4，5）．

②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2﹣2所示．

設P（m，n），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=m，PN=n．

tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，n=（m+1），

∴P[m，（m+1）]，代入拋物線解析式y(tǒng)=（x+1）（x﹣2），

得（m+1）（m﹣2）=（m+1），

解得：m=3或m=﹣1（與點A重合，舍去），

∴P（3，2）．

故點P的坐標為（4，5）或（3，2）；

（3）∵∠DBA=30°，

∴設直線BD的解析式為y=﹣x+b，

∵B（2，0），

∴0=﹣×2+b，解得b=．

故直線BD的解析式為y=﹣x+．

聯(lián)立兩解析式可得，

解得，．

則D（﹣，），

如答圖3，過點D作DN⊥x軸于點N，過點D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30°．過點F作FG⊥DK于點G，則FG=DF．

由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+DF，

∴t=AF+FG，即運動的時間值等于折線AF+FG的長度值．

由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．

過點A作AH⊥DK于點H，則t_最小=AH，AH與直線BD的交點，即為所求的F點．

∵A點橫坐標為﹣1，直線BD解析式為：y=﹣x+，

∴y=﹣×（﹣1）+=，

∴F（﹣1，）．

綜上所述，當點F坐標為（﹣1，）時，點M在整個運動過程中用時最少．

【點評】本題是二次函數(shù)壓軸題，難度很大．第（2）問中需要分類討論，避免漏解；在計算過程中，解析式中含有未知數(shù)m，增加了計算的難度，注意解題過程中的技巧；第（3）問中，運用了轉(zhuǎn)化思想使得試題難度大大降低，需要認真體會．