如圖,在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P,點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B兩點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)C作CD⊥PB,垂足為D點(diǎn).

(1)如圖1,求證:△PCD∽△ABC;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PCD≌△ABC?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出△PCD并說(shuō)明理由;
(3)如圖3,若AC=
1
2
AB,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí),求∠BCD的度數(shù).
考點(diǎn):相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理
專題:
分析:(1)由AB是⊙O的直徑,根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角,即可得∠ACB=90°,又由PD⊥CD,可得∠D=∠ACB,又由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,即可得∠A=∠P,根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似,即可判定:△PCD∽△ABC;
(2)由△PCD∽△ABC,可知當(dāng)PC=AB時(shí),△PCD≌△ABC,利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得;
(3)由∠ACB=90°,AC=
1
2
AB,可求得∠ABC的度數(shù),然后利用相似,即可得∠PCD的度數(shù),又由垂徑定理,求得弧AC=弧AP,然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數(shù),繼而求得答案.
解答:(1)證明:∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∵PD⊥CD
∴∠D=90°
∴∠D=∠ACB
∵∠A與∠P是弧BC所對(duì)的圓周角
∴∠A=∠P
∴△PCD∽△ABC
(2)解:當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí),△PCD≌△ABC.理由如下:
∵AB、PC是⊙O的半徑
∴AB=PC
∴△PCD≌△ABC(AAS)
畫(huà)圖如下:

(3)解:∵∠ACB=90°,AC=
1
2
AB

∴∠ABC=30°,
∵△PCD∽△ABC,
∴∠PCD=∠ABC=30°,
∵CP⊥AB,AB是⊙O的直徑,
∴弧AC=弧AP
∴∠ACP=∠ABC=30°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng),難度適中,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知扇形的圓心角為120°,半徑為3,扇形的周長(zhǎng)為
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

為提高初中生的身體素質(zhì),教育行政部門(mén)規(guī)定:初中生每天參加戶外活動(dòng)的平均時(shí)間應(yīng)不少于1小時(shí).為了解學(xué)生參加戶外活動(dòng)的情況,某區(qū)教育行政部門(mén)對(duì)部分學(xué)生參加戶外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成下列兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息解答以下問(wèn)題:

(1)這次抽樣共調(diào)查了
 
名學(xué)生,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示戶外活動(dòng)時(shí)間0.5小時(shí)的扇形圓心角度數(shù);
(3)本次調(diào)查學(xué)生參加戶外活動(dòng)的平均時(shí)間是否符合要求?(寫(xiě)出判斷過(guò)程)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

先化簡(jiǎn):
1
x2-x
-
x-2
x2-2x+1
÷
x-2
x-1
,再?gòu)?,1,2,
3
中選取一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值(簡(jiǎn)要說(shuō)明選這個(gè)數(shù)的理由).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn),MN=4,MA=1,MB>1.以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M,以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N,使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C,構(gòu)成△ABC,設(shè)AB=x.
(1)求x的取值范圍;
(2)若△ABC為等腰三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC是否可能為直角三角形?若可能求出此時(shí)x的值,不可能請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,∠1=
1
2
∠2,∠1+∠2=150°,求∠3與∠4的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)解不等式:5(x-2)<6(x-1)+7;
(2)若(1)中的不等式的最小整數(shù)解是關(guān)于x的方程2x-ax=3的解,求a.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

先化簡(jiǎn)
2x+4
x-2
÷(x+2)÷
x2-4
x2-4x+4
,然后x在-2,2,3三個(gè)數(shù)中任選一個(gè)合適的數(shù)代入求值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與直線y=-2x關(guān)于y軸對(duì)稱,直線l與反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A(2,m).
(1)試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若過(guò)點(diǎn)A的直線與x軸交于點(diǎn)B,且∠ABO=45°,直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案