Question

如圖，已知△ABC中AB=AC，BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，連接AD，
①直接寫出∠BDC與∠BAC之間的關系式；
②求證：△ABD為等腰三角形；
③當∠EBA的大小滿足什么條件時，以A、B、F為頂點的三角形為等腰三角形？

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質

專題：

分析：①由外角關系∠BDC+

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∠ABC=

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∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，即可得出∠BDC=

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∠BAC；
②作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，先證DM=DN，得出AD平分∠CAG，再證明AD∥BC，證出∠ABD=∠ADB，即可證出AB=AD，△ABD為等腰三角形；
③由△ABF是等腰三角形，∠BAF只能為底角，得出AF=BF，∠BAF=∠ABF=

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∠ABC，再根據∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，求出∠ABC=72°．

解答：解：①∠BDC=

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∠BAC．
∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+

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∠ABC=

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∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+

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∠ABC=

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∠BAC+

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∠ABC，
∴∠BDC=

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∠BAC．
②作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，如圖所示：
∵BD、CD分別平分∠EBA、∠ECA，
∴DM=DH，DN=DH，
∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD為等腰三角形；
（3）∠EBA=72°；
根據題意，∵△ABF是等腰三角形，∠BAF只能為底角，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=

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∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴

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∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．

點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質、外角的性質以及平行線的判定與性質；弄清各個角之間的關系進行推理論證與計算是解題的關鍵．