Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為2

3

，它的頂點A在拋物線y=x2-2

3

x上運動，且BC∥x軸，點A在BC的上方．
（1）當(dāng)頂點A運動至原點重合時，頂點C是否在該拋物線上？請說明理由．
（2）△ABC在運動過程中被x軸分成兩個部分，若上下兩部分的面積之比為1：8（即S_上部分：S_下部分=1：8），求頂點A的坐標(biāo)．
（3）△ABC在運動過程中，當(dāng)頂點B落在坐標(biāo)軸上時，求頂點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出當(dāng)點A與原點重合時C點的坐標(biāo)，再將C點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式就可以判斷點C是否在拋物線上．
（2）由于在移動的過程中在x軸上方的三角形始終與原三角形相似，當(dāng)上下兩部分的面積之比為1：8時，則上部分的面積與三角形的面積之比為1：9，利用相似三角形的性質(zhì)可以求出其頂點坐標(biāo)．
（3）由題意可知三角形在移動中點B落在坐標(biāo)軸上有三種情況，根據(jù)三種不同的位置情況和等邊三角形的性質(zhì)利用等邊三角形變的長度求出B點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)點A與原點重合時，根據(jù)等邊三角形的得到點C的坐標(biāo)為（

3

，-3）
當(dāng)x=

3

時，代入拋物線的解析式得：y=-3
∴點C的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式
∴點A運動至原點重合時，點C是在該拋物線上．

（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為（x，y），y＞0，△ABC與軸相交于點M、N
∵S_△AMN：S_{四邊形BCNM}=1：8
∴S_△AMN：S_△ABC=1：9
∵BC∥x軸
∴△AMN∽△ABC
∴

S△AMN

S△ABC

=(

y

3

)2=

1

9

∴y=1
∵點A在拋物線上
∴1=x2-2

3

x
解得：x1=

3

+2，x2=

3

-2
∴A的坐標(biāo)為：（

3

+2，1），（

3

-2，1）

（3）第一種情況：點B落在X軸上，即BC與x軸重合
∴點A的縱坐標(biāo)為3，代入解析式求得點A的橫坐標(biāo)：
x1=

3

+

6

，x2=

3

-

6

∴點C的橫坐標(biāo)為：x1=2

3

+

6

，x2=2

3

-

6

∴點C的坐標(biāo)為：（2

3

+

6

，0），2

3

-

6

，0）
第二種情況：點B在y軸上，由圖得點A的橫坐標(biāo)為：x=

3

，將其代入拋物線的解析式為
y=3-6=-3
∴點C的縱坐標(biāo)為-6，橫坐標(biāo)為：2

3

∴C（2

3

，-6）
綜上所述，點C的坐標(biāo)為：
（2

3

+

6

，0），2

3

-

6

，0），（2

3

，-6）

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了等邊三角形與拋物線的關(guān)系，運用了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)．