Question

12．已知，如圖，在三角形ABC中，CD是中線，過點A作平行線BC的平行線，交CD的延長線于點E，連接EB．
（1）求證：四邊形AEBC是平行四邊形；
（2）延長AC到點F，使CF=AC，連接BF，當三角形ABF滿足條件∠ABF=90°時，四邊形AEBC是菱形？請證明．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出∠AED=∠BCD，由AAS證明△ADE≌△BCD，得出對應邊相等AE=BC，即可得出四邊形AEBC是平行四邊形；
（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出BC=$\frac{1}{2}$AF=AC，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵在三角形ABC中，CD是中線，
∴AD=BD，
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠BCD，
在△ADE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BCD}&{\;}\\{∠ADE=∠BDC}&{\;}\\{AD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCD（AAS），
∴AE=BC，
又∵AE∥BC，
∴四邊形AEBC是平行四邊形；
（2）解：△ABF滿足∠ABF=90°時，四邊形AEBC是菱形；理由如下：
∵∠ABF=90°，CF=AC，
∴BC=$\frac{1}{2}$AF=AC，
∴平行四邊形時AEBC是菱形．
故答案為：∠ABF=90°．

點評 本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定，證明三角形全等是解決問題的關鍵．