Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，D、E在BC上，BD=DE=EC=AC，指出圖中哪兩個三角形相似，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：△ADE與△AEB相似，證明如下：由∠C=90°，且AC=EC，得到△AEC為等腰直角三角形，且得到BE等于2AB，同時可得出∠AEC=45°，根據銳角三角函數定義表示出關系式，得出AE與AC的關系，即為AE與DE的關系，求出AE與DE的比值，由BE為AC的2倍，求出BE與AE的比值，可得出兩比值相等，再根據夾角為公共角，利用兩對對應邊成比例且夾角相等的兩三角形相似，可得出△ADE與△AEB相似，得證．
解答：解：△AED∽△BEA，…（2分）
證明如下：
在△AED和△BEA中，
∵△ABC中，∠C=90°，BD=DE=EC=AC，
∴△AEC為等腰直角三角形，BE=BD+DE=2BD=2AC，
∴∠AEC=45°，即sin∠AEC=，
∴AE==AC，
∴===，…（3分）
∵∠AED=∠BEA，…（4分）
∴△AED∽△BEA．…（5分）
點評：此題考查了等腰直角三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，以及相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：兩對對應角相等的兩三角形相似；三邊對應成比例的兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關鍵．