Question

求三個不同的正整數(shù)a，b，c使

11

a

+

11

b

+

11

c

=

143

210

，且使[a，b，c]最小．

Answer 1

考點：整數(shù)問題的綜合運用

專題：

分析：首先把原式化簡為：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

13

210

，210=2×3×5×7，要使[a，b，c]最小，則a，b，c的最大公約數(shù)要最大，且盡量為倍數(shù)關(guān)系，且剩余的質(zhì)因數(shù)和質(zhì)因數(shù)積的和小于13，由此探討得出答案即可．

解答：解：∵

11

a

+

11

b

+

11

c

=

143

210

，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=

13

210

，
∵210=2×3×5×7，
∴要使[a，b，c]最小，則a，b，c的最大公約數(shù)要最大，且盡量為倍數(shù)關(guān)系，
當(dāng)（a，b，c）=6
則13=1+5+7，則a，b，c分別為30，42，210，[a，b，c]=210；
當(dāng)（a，b，c）=10
則13=3+3+7，不合題意；
當(dāng)（a，b，c）=14
則13=3+5+5，不合題意；
當(dāng)（a，b，c）=15
則13=2+4+7，則a，b，c分別為105，30，52.5，不合題意；
當(dāng)（a，b，c）=21
則13=1+2+10或2+5+6，a，b，c分別為210，105，21或105，42，35，則[a，b，c]=210；
當(dāng)（a，b，c）=35
則13=3+2+8，a，b，c分別為70，105，26.25不合題意；
綜上所述，[a，b，c]最小為210．

點評：此題考查整數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)和最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的綜合運用，注意抓住式子的特點，選用適當(dāng)?shù)姆椒ń獯鸺纯桑?/div>