Question

如圖，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．點E是線段BC邊上的一動點（不含B、C兩端點），連結(jié)AE，作∠AED=∠B，交線段AB于點D．
（1）求證：△BDE∽△CEA；
（2）設BE=x，AD=y，請寫y與x之間的函數(shù)關系式，并求y的最小值．
（3）E點在運動的過程中，△ADE能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠BDE=180°-∠DEB-∠B，∠CEA=180°-∠DEB-∠AED，
又∠B=∠AED，
∴∠BDE=∠CEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEA；

（2）解：∵△BDE∽△CEA，
∴，
即，
∴=（0＜x＜8），
∴當x=4，y有最小值是；

（3）解：∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∵∠B=∠AED，
∴∠ADE＞∠AED，
∴AE≠AD．
①當AE=DE時，
得△BDE≌△CEA，
∴BE=AC=6cm；
②當DA=DE時，∠BAE=∠AED=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCA，
∴，
即：，
∴，
∴△ADE為等腰三角形時，．
分析：（1）根據(jù)∠BDE=∠CEA，∠B=∠C證得結(jié)論；
（2）利用（1）中相似三角形的對應邊成比例列出比例式，則把相關線段的長度代入即可列出y與x的關系式．注意自變量x的取值范圍要注明；
（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)和三角形的邊角關系知AE≠AD．所以當△ADE是等腰三角形時，分兩種情況：①當AE=DE時，△BDE≌△CEA；②當DA=DE時，△BAE∽△BCA．所以根據(jù)全等三角形和相似三角形的性質(zhì)來求線段BE的長度．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識點．解答（3）題時，要分類討論，以防漏解．