Question

三等分任意角是一個(gè)作圖難題，在距第一次提出這個(gè)問(wèn)題兩千年之后，這個(gè)問(wèn)題才被證實(shí)用尺規(guī)作圖（用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖）無(wú)法解決．現(xiàn)在有不少人創(chuàng)造了各種各樣的輔助工具，用來(lái)解決尺規(guī)作圖無(wú)法解決的三等分任意角的問(wèn)題．
如圖所示就是一個(gè)用來(lái)三等分任意角的工具及其使用示意圖．
（1）制作該工具時(shí)BE所在的直線、點(diǎn)C應(yīng)分別滿足什么條件？使用時(shí)應(yīng)注意些什么？
（2）你能說(shuō)出該工具三等分任意角的道理嗎？

Answer 1

【答案】分析：（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)可知，BE垂直平分AC，點(diǎn)C為半圓的圓心；
（2）根據(jù)垂直平分線的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等，構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知EB為角平分線，由圓的性質(zhì)可知CB=CF，可知C在角平分線上．
解答：解：
（1）BE垂直平分AC，C是BD的中點(diǎn)；角的頂點(diǎn)落在BE上，使角的一邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一邊于半圓相切．（3′）
（2）如圖，設(shè)被平分的角頂點(diǎn)為O點(diǎn)，
∵BE垂直平分AC，∴OA=OC，∴∠AOB=∠BOC，
∵C是BD的中點(diǎn)，∴CB=CF，且BC⊥OB，CF⊥OF，
∴∠BOC=∠FOC，
∴該工具能三等分任意角．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的運(yùn)用．關(guān)鍵是運(yùn)用兩個(gè)性質(zhì)得到相等角．