Question

如圖1，AD是圓O的直徑，BC切圓O于點D，AB、AC與圓O相交于點E、F．

（1）求證：AE•AB=AF•AC；
（2）如果將圖1中的直線BC向上平移與圓O相交得圖2，或向下平移得圖3，此時，AE•AB=AF•AC是否仍成立？若成立，請證明，若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建相似三角形來求證．連接DE、DF，通過證三角形AED、ADB和三角形AFD、ADC相似，得出AE、AB以及AF、AC和AD之間的關(guān)系，通過AD這個中間值來得出所求的比例關(guān)系．
（2）依然成立，因為這要能證得（1）中的兩個三角形相似，就能得出（1）中的結(jié)論，BC上上平移的過程中，兩個三角形相似的條件（一個公共角，一組直角）沒有改變，因此仍相似，所以（1）中的結(jié)論仍成立．

解答：（1）證明：如圖1，連接DE．
∵AD是圓O的直徑，
∴∠AED=90°．
又∵BC切圓O于點D，
∴AD⊥BC，∠ADB=90°．
在Rt△AED和Rt△ADB中，∠EAD=∠DAB，
∴Rt△AED∽Rt△ADB．
∴

AE

AD

=

AD

AB

，即AE•AB=AD²
同理連接DF，可證Rt△AFD∽Rt△ADC，AF•AC=AD²
∴AE•AB=AF•AC．

（2）解：AE•AB=AF•AC仍然成立．
證明：如圖2，連接DE，因為BC在上下平移時始終與AD垂直，設(shè)垂足為D'，則∠AD′B=90°
∵AD是圓O的直徑，
∴∠AED=90°
又∵∠D′AB=∠EAD，∠AED=∠AD′B，
∴Rt△AD′B∽Rt△AED
∴

AB

AD

=

AD′

AE

AE•AB=AD′•AD
同理AF•AC=AD′•AD
∴AE•AB=AF•AC
同理可證，當(dāng)直線BC向下平移與圓O相離如圖3時，AE•AB=AF•AC仍然成立．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，通過構(gòu)建相似三角形得出與所求相關(guān)的線段間的比例是解題的關(guān)鍵．