Question

19．如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為直徑，cos∠ACB=$\frac{5}{9}$，D是$\widehat{AB}$的中點，CD與AB的交點為E，則$\frac{CE}{DE}$等于$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 利用垂徑定理的推論得出DO⊥AB，AF=BF，進而得出DF的長和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．

解答 解：連接DO，交AB于點F，
∵D是$\widehat{AB}$的中點，
∴DO⊥AB，AF=BF，
∵AB=4，
∴AF=BF=2，
∴FO是△ABC的中位線，AC∥DO，
∵BC為直徑，cos∠ACB=$\frac{5}{9}$，
∴設AC=5x，BC=9x，
∴BA=2$\sqrt{14}$，F(xiàn)O=$\frac{1}{2}$AC=2.5x，
∴DO=4.5x，
∴DF=4.5x-2.5x=2x，
∵AC∥DO，
∴△DEF∽△CEA，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AC}{FD}$，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{5x}{2x}$=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 此題主要考查了垂徑定理的推論以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△DEF∽△CEA是解題關鍵．