Question

16．將矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求證：四邊形AECF為菱形；
（2）若AB=12，BC=18，求菱形AECF的邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA，則可根據(jù)“ASA”判斷△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形AECF為菱形；
（2）設(shè)菱形的邊長為x，則BE=BC-CE=8-x，AE=x，在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理得（8-x）²+4²=x²，然后解方程即可得到菱形的邊長．

解答 （1）證明：∵矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕為EF，
∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴四邊形AECF時(shí)平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形AECF為菱形；
（2）解：設(shè)菱形的邊長為x，則BE=BC-CE=18-x，AE=x，
在Rt△ABE中，∵BE²+AB²=AE²，
∴（18-x）²+12²=x²，
解得：x=13，
即菱形的邊長為13．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解決問題的關(guān)鍵．