Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．

（1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖①），求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點 H，交CD的延長線于點M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）BE=CM，證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，

（2）根據(jù)垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據(jù)AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM．

試題解析：（1）∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，∵∠CAE=∠BCG，AC=BC，∠ACE=∠CBG，∴△AEC≌△CGB，∴AE=CG；

（2）BE=CM．證明如下：

∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，

又∵∠ACM=∠CBE=45°，

在△BCE和△CAM中，∵∠BEC=∠CMA，∠ACM=∠CBE，BC=AC，∴△BCE≌△CAM，∴BE=CM．

考點：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等腰直角三角形．