Question

13．如圖，等腰直角△ACB，CA=CB，∠ACB=90°，∠ECF=45°，點(diǎn)E、F在AB上，AM⊥AB，BN⊥AB，AM、BN分別交直線CE、CF于M、N，若AM=2，BN=5，則MN的長為$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠6=45°，推出∠5=∠ACF，證得△ACF∽△BCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AC•BC=AF•BE，根據(jù)已知條件得到∠CAM=∠CBN=135°，推出△ACM∽△CBN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AC•BC=AM•BN=10，過M作MG⊥BN于G，則四邊形ABGM是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到MG=AB，BG=AM=2，由于AB²=AC²+BC²=2AC²=2AC•BC=20，得到MG²=20，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠6=45°，
∵∠5=∠6+∠1=45°+∠1，∠ACF=∠1+∠2=∠1+45°，
∴∠5=∠ACF，
∵∠6=∠ABC=45°，
∴△ACF∽△BCE，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{AF}{BC}$，
∴AC•BC=AF•BE，
∵AM⊥AB，BN⊥AB，
∴∠ABN=90°，
∴∠CAM=∠CBN=135°，
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠1+∠4=45°，
∴∠1=∠4，
∴△ACM∽△CBN，
∴$\frac{AC}{BN}=\frac{AM}{BC}$，
∴AC•BC=AM•BN=10，
過M作MG⊥BN于G，
則四邊形ABGM是矩形，
∴MG=AB，BG=AM=2，
∴NG=3，
∵AB²=AC²+BC²=2AC²=2AC•BC=20，
∴MG²=20，
∴MN=$\sqrt{A{B}^{2}-G{N}^{2}}$=$\sqrt{11}$．
故答案為：$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．