Question

9．某產(chǎn)品每件成本28元，在試銷階段產(chǎn)品的日銷售量y（件）與每件產(chǎn)品的日銷售價x（元）之間的關(guān)系如圖中的折線所示．為維持市場物價平衡，最高售價不得高出83元．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使每日的銷售利潤w最大，每件產(chǎn)品的日銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象可知該函數(shù)分為三段，然后分別設出相應的函數(shù)解析式，根據(jù)圖象提供的信息求出相應的函數(shù)解析式即可解答本題；
（2）根據(jù)第（1）問中的函數(shù)解析式可以求出所對應的利潤，然后求出各段的最大利潤然后進行比較即可解答本題．

解答 解：（1）當30＜x≤40時，設此段的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=66}\\{40k+b=36}\end{array}\right.$
解得，k=-3，b=156
∴當30＜x≤40時，函數(shù)的解析式為：y=-3x+156；
當40＜x≤80時，設此段函數(shù)的解析式為：y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{40m+n=36}\\{80m+n=16}\end{array}\right.$
解得，m=$-\frac{1}{2}$，n=56，
∴當40＜x≤80時，函數(shù)的解析式為：y=$-\frac{1}{2}x+56$；
當80＜x≤83時，y=16；
由上可得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+156}&{30＜x≤40}\\{-\frac{1}{2}x+56}&{40＜x≤80}\\{16}&{80＜x≤83}\end{array}\right.$；
（2）當30＜x≤40時，
w=（x-28）y
=（x-28）（-3x+156）
=-3x²+240x-4368
=-3（x-40）²+432
∴當x=40時取得最大值，最大值為w=432元；
當40＜x≤80時，
w=（x-28）y
=（x-28）（$-\frac{1}{2}x+56$）
=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+70x-1568$
=$-\frac{1}{2}（x-70）^{2}+882$，
∴當x=70時，取得最大值，最大值為w=882元；
當80＜x≤83時，w=（x-28）×16
∴當x=83時，取得最大值，最大值為w=880元；
由上可得，當x=70時，每日點的銷售利潤最大，最大為882元，
即要使每日的銷售利潤w最大，每件產(chǎn)品的日銷售價應定為70元，此時每日銷售利潤是882元．

點評 本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是明確題意根據(jù)圖象可以求出各段對應的函數(shù)解析式，利用分類討論的數(shù)學思想求出各段的最大利潤．