Question

19．如圖，以等邊△OAB的邊OB所在直線為x軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，使點(diǎn)A在第一象限建立平面直角坐標(biāo)系，其中△OAB邊長(zhǎng)為6個(gè)單位，點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿折線OAB向B點(diǎn)以3單位/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)以2單位/秒的速度沿折線OBA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒），當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．
①點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$），P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{27}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）；
②當(dāng)t=2時(shí)，S_△OPQ=6$\sqrt{3}$；當(dāng)t=3時(shí)，S_△OPQ=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$；
③設(shè)△OPQ的面積為S，當(dāng)0＜t≤3時(shí)試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
④當(dāng)t=2時(shí)，試求在y軸上能否找一點(diǎn)M，使得以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若能找到請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 ①過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)P、Q的交點(diǎn)作PC⊥x軸于點(diǎn)C，由△AOB為等邊三角形，△OAB邊長(zhǎng)為6個(gè)單位，可求出AD、OD的長(zhǎng)度，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；當(dāng)P、Q相遇時(shí)，找出BP的長(zhǎng)度，結(jié)合∠ABO=60°，利用三角函數(shù)值即可求出PC、CB，從而能夠得出P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)交點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到了A點(diǎn)處，OQ=4，結(jié)合三角形的面積公式即可得出此時(shí)S_△OPQ的值；當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)處，AP=3×3-OA=3，結(jié)合三角形的面積公式即可得出此時(shí)S_△OPQ的值；
③結(jié)合②的運(yùn)動(dòng)情況，分兩段來(lái)考慮S，結(jié)合三角形的面積公式即可得出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
④假設(shè)存在，找出此時(shí)P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理列出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：①過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)P、Q的交點(diǎn)作PC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．

∵△AOB為等邊三角形，△OAB邊長(zhǎng)為6個(gè)單位，
∴AD=OA•sin60°=3$\sqrt{3}$，AD=$\frac{1}{2}$OB=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$）；
當(dāng)P、Q點(diǎn)相遇時(shí)點(diǎn)Q走過(guò)的路程為3×6÷（3+2）×2=$\frac{36}{5}$，
PB=$\frac{36}{5}$-OB=$\frac{6}{5}$，
∴BC=PB•cos60°=$\frac{3}{5}$，PC=PB•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴OC=OB-BC=$\frac{27}{5}$．
即P、Q相遇的坐標(biāo)為（$\frac{27}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）．
故答案為：（3，3$\sqrt{3}$）；（$\frac{27}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）．
②依照題意畫(huà)出圖形，如圖2所示．

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到了A點(diǎn)處，OQ=4，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OA•OQ•sin∠AOQ=$\frac{1}{2}$×6×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$；
當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)處，AP=3×3-OA=3，
∵△OAB為等邊三角形，且AB=6，
∴此時(shí)P點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，
∴OP⊥AB，且∠POB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，
∴OP=OB•sin∠ABO=3$\sqrt{3}$，
S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OP•OB•sin∠POB=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×6×$\frac{1}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：6$\sqrt{3}$；$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
③由②知當(dāng)t=2時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，故分兩種情況考慮：
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，OP=3t，OQ=2t，
S=$\frac{1}{2}$OP•OQ•sin∠AOB=$\frac{1}{2}$×3t×2t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$；
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，OP=3t，OQ=2t，AP=OP-OA=3t-6，BP=AB-AP=12-3t，
S=$\frac{1}{2}$OQ•BP•sin∠ABO=$\frac{1}{2}$×2t×（12-3t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$+6$\sqrt{3}$t．
綜上可知：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0＜t≤2）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+6\sqrt{3}t（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．
④假設(shè)存在，當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，0），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m）．
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：PQ=$\sqrt{（4-3）^{2}+（0-3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，PM=$\sqrt{（0-3）^{2}+（m-3\sqrt{3}）^{2}}$，QM=$\sqrt{（0-4）^{2}+{m}^{2}}$，
以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形分三種情況：
當(dāng)PQ為斜邊時(shí)，由勾股定理得PM²+QM²=PQ²，即9+$（m-3\sqrt{3}）^{2}$+16+m²=28，
方程無(wú)解；
當(dāng)PM為斜邊時(shí)，由勾股定理得PQ²+QM²=PM²，即28+16+m²=9+$（m-3\sqrt{3}）^{2}$，
解得：m=-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$）；
當(dāng)QM為斜邊時(shí)，由勾股定理得PQ²+PM²=QM²，即28+9+$（m-3\sqrt{3}）^{2}$=16+m²，
解得：m=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．
故當(dāng)t=2時(shí)，在y軸上能找到一點(diǎn)M，使得以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$）或（0，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：①在直角三角形中借助特殊角的三角函數(shù)值求線段；②套用面積公式求面積；③分段尋找S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；④由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合勾股定理列出關(guān)于m的一元二次方程．本題屬于難題，①②難度不大；③巧妙的用邊乘角的正弦值來(lái)代替，使得運(yùn)算量大大較少；④用到了兩點(diǎn)間的距離公式，在作圖尋找中往往會(huì)落下一兩種情況，雖說(shuō)兩點(diǎn)間的距離公式為高中內(nèi)容，但在日常教學(xué)中，初中的老師們往往會(huì)將此方法求距離教給學(xué)生們．