Question

10．如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，再折合成一個(gè)無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm．
（1）要使折成長方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少？
（2）設(shè)折成長方體盒子的側(cè)面積為y（cm²），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并確定折成長方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，請你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用原來長方形的長-2正方形的邊長）×（原來長方形的寬-2正方形的邊長）=48，列出方程即可求解；
（2）同（1）先用x表示出不同側(cè)面的長，然后根據(jù)矩形的面積將4個(gè)側(cè)面的面積相加，得出關(guān)于側(cè)面積和正方形邊長的函數(shù)式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍來得出側(cè)面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)正方形的邊長為xcm．
則（10-2x）（8-2x）=48，
即x²-9x+8=0，
解得x₁=8（不合題意，舍去），x₂=1．
答：剪去的正方形的邊長為1cm．

（2）正方形的邊長為xcm，設(shè)盒子的側(cè)面積為ycm²，
則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=2（10-2x）x+2（8-2x）x，
即y=-8x²+36x．（0＜x＜4）
改寫為y=-8（x-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{81}{2}$，
∴當(dāng)x=2.25時(shí)，y最大=40.5．
即當(dāng)剪去的正方形的邊長為2.25cm時(shí)，長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm²．

點(diǎn)評 此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，根據(jù)矩形面積的計(jì)算方法正確列出方程與二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．