Question

2．如圖，拋物線y=-x²-2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，且△HAB的面積是6，求點的坐標(biāo)；
（3）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積．

Answer 1

分析 （1）通過解析式即可得出C點坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)AB的長和三角形面積求得H的縱坐標(biāo)為3，代入解析式即可求得橫坐標(biāo)；
（3）設(shè)M點橫坐標(biāo)為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，矩形PMNQ的周長d=-2m²-8m+2，將-2m²-8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．

解答 解：（1）由拋物線y=-x²-2x+3可知，C（0，3），
令y=0，則0=-x²-2x+3，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）．
（2）∵A（-3，0），B（1，0）．
∴AB=4，
∵△HAB的面積是6，點H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，
∴H的縱坐標(biāo)為3，
把y=3代入y=-x²-2x+3得3=-x²-2x+3，解得x₁=0，x₂=-2，
∴H（-2，3）；
（3）由拋物線y=-x²-2x+3可知，對稱軸為x=-1，
設(shè)M點的橫坐標(biāo)為m，則PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（-m²-2m+3-2m-2）×2=-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴當(dāng)m=-2時矩形的周長最大．
∵A（-3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴解析式y(tǒng)=x+3，當(dāng)x=-2時，則E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=$\frac{1}{2}$•AM•EM=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點的求法，矩形的性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識，綜合性較強(qiáng)，運用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．