Question

8．在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，CA=CB，且∠ACB=2∠ACD．
（}）如圖1，求證：AB=2AD；
（2）如圖2，當(dāng)∠DAB=90°時，E為AB邊的中點，DE交AC于點F，EG⊥BF于點G，交BC于點M，交DC的延長線于點H，請?zhí)骄烤�段MH與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）過C作CE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACE=$\frac{1}{2}∠$ACB，AB=2AE，由已知條件得到∠ACE=∠ACD，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAC=∠BAC，推出△ACD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=AE，于是得到結(jié)論；
（2）連接CE交BF于K，則K為△ABC的重心，設(shè)CK=2EK=2x，CE=BE=3x，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAC=∠CAB=45°，推出△ACB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，AE=CE=BE，根據(jù)已知條件得到∠ACD=45°，推出△BEK≌△CEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EK=CH=x，BK=EH=$\sqrt{10}$x，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{MH}{ME}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{3}$，求得MH=$\frac{1}{4}$EH=$\frac{\sqrt{10}}{4}$x，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過C作CE⊥AB于E，
∵AC=BC，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}∠$ACB，AB=2AE，
∵∠ACB=2∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
在△ACD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠EAC}\\{AC=AC}\\{∠DCA=∠ECA}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴AB=2AD；

（2）連接CE交BF于K，則K為△ABC的重心，
∴設(shè)CK=2EK=2x，CE=BE=3x，
∵∠DAB=90°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CE⊥AB，
∴AE=CE=BE，
∵∠ACB=2∠ACD，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵EG⊥BF，
∴∠CEH=∠EBK，
在△BEK與△CEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECH=∠KEB=90°}\\{BE=CE}\\{∠CEH=∠EBK}\end{array}\right.$，
∴△BEK≌△CEH，
∴EK=CH=x，BK=EH=$\sqrt{10}$x，
∵CH∥BE，∴$\frac{MH}{ME}=\frac{CH}{BE}=\frac{1}{3}$，
∴MH=$\frac{1}{4}$EH=$\frac{\sqrt{10}}{4}$x，
∵△BEG∽△BKH，
∴$\frac{BE}{BK}=\frac{EG}{KE}$，
∴EG=$\frac{2\sqrt{10}X}{10}$，
∴$\frac{MH}{EG}=\frac{5}{6}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證得△ABC是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．