Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，且AB=20，BM切⊙O于點B，點P是⊙O上的一個動點（不經(jīng)過A，B兩點），過點O作OQ∥AP交BM于點Q，過點P作PF⊥AB于點C，交QO的延長線于點E，連接PQ．
（1）求證：PE∥BM；
（2）試判斷PQ與⊙O的位置關(guān)系，并給予證明；
（3）以點P、A、E、O為頂點的四邊形能否為菱形？若能，請說明點E與⊙O的位置關(guān)系，并求出PE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由BM切⊙O于點B，AB是⊙O的直徑，可得BM⊥AB，再結(jié)合PE⊥AB，即可得出PE∥BM；
（2）由OQ∥AP，得出∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，再由半徑相等求出∠APO=∠OAP，易得出△POQ≌△BOQ，可得∠OPQ=∠OBQ=90°即可得出結(jié)論．
（3）由點E在⊙O上時，即PE是⊙O的弦，可得EC=CP，AE=AP，∠AOE=∠AOP，由OE∥AP，可得∠AOE=∠OAP，∠AOP=∠OAP，AP=OP，從而AE=AP=OP=OE，即可得出四邊形PAEO是菱形．

解答：（1）證明：∵BM切⊙O于點B，AB是⊙O的直徑，
∴BM⊥AB，
∵PE⊥AB，
∴PE∥BM，
（2）PQ是⊙O的切線，
證明：∵OQ∥AP，
∴∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，
又∵OP=OA，
∴∠APO=∠OAP，
又∵∠BOQ=∠EOA=∠OAP，
∴∠POQ=∠BOQ，
∵OP=OB，OQ=OQ，
∴△POQ≌△BOQ，
∴∠OPQ=∠OBQ=90°，
∵點P在⊙O上，
∴PQ是⊙O的切線．
（3）解：能，點E在⊙O上，如圖，

當(dāng)點E在⊙O上時，即PE是⊙O的弦，
∵PE⊥AB，
∴EC=CP，
∴AE=AP，
∴∠AOE=∠AOP，
∵OE∥AP，
∴∠AOE=∠OAP，
∴∠AOP=∠OAP，
∴AP=OP，
從而AE=AP=OP=OE，
∴四邊形PAEO是菱形，
∵PE⊥AB，
∴OC=

1

2

OA=5，
在Rt△POC中，PC=

102-52

=5

3

，
∴PE=2PC=10

3

．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，涉及三角形全等，圓的切線及菱形的判定．解題的關(guān)鍵是能正確的理清題意，正確畫出圖形．