Question

如圖，矩形ABCD中，∠DBC的角分線與CD交于K，點(diǎn)P在射線BK上，過(guò)點(diǎn)P作直線AB、AD的垂線，垂足為E、F，與直線BD交于M、N兩點(diǎn)．
（1）如圖1，若AD：AB=1：2，點(diǎn)P在線段BK上時(shí)，求證：DM=5ME+DN；
（2）若AD：AB=1：2，點(diǎn)P在射線BK上時(shí)，（1）問中的結(jié)論是否成立，若成立給予證明；若不成立，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論；
（3）若AD=3，AB=4，當(dāng)EM+FN=MN時(shí)，求EM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）易證△BEM∽△MNP∽△ABD，則三個(gè)三角形的三邊的比都是1：2：

5

，然后利用等角對(duì)等邊可以證得BM=MP即可證得結(jié)論；
（2）與（1）相同，可以得到BM=MP=

5

ME，MN=

5

MP=5ME，則MD、ME、DN的關(guān)系即可寫出；
（3）與（1）相同，則△BEM∽△MNP∽△ABD，根據(jù)勾股定理可以得到每個(gè)三角形的三邊的比是：3：4：5，利用EM分別表示出MN，NF的長(zhǎng)，根據(jù)EM+FN=MN即可列出關(guān)于EM的方程，從而求解．

解答：（1）證明：∵直角△ABD中，AD：AB=1：2，
∴AD：AB：BD=1：2：

5

，
∵AB∥FN
∴△BEM∽△MNP∽△ABD，
∴BM=

5

ME，MN=

5

MP=5ME
∵BK平分∠DBC，
∴∠NBP=∠CBK，
又∵PE∥BC
∴∠CBK=∠BPM，
∴∠BPM=∠NBP，
∴BM=MP=

5

ME，
∴DM=MN+DN=5ME+DN；

（2）證明：如圖2所示：
同（1）可得：BM=MP=

5

ME，MN=

5

MP=5ME，
∵DM=MN-DN
∴DM=5ME-DN；

（3）解：∵直角△ABD中，AD=3，AB=4，
∴BD=

AD2+AB2

=5，
同（1）可證：△BEM∽△MNP∽△ABD，則每個(gè)三角形的三邊的比是：3：4：5．
當(dāng)P在線段BK上時(shí)，如圖3，
則BM=MP=

5

3

EM，MN=

5

3

MP=

25

9

EM，
∴FD=AD-AF=AD-EM-MP=3-EM-

5

3

EM=AD-

8

3

EM=3-

8

3

EM，
∴NF=

4

3

FD=4-

32

9

EM，
∵EM+FN=MN，
∴EM+（4-

32

9

EM）=

25

9

EM，
解得：EM=

3

4

；
當(dāng)F在點(diǎn)P在BK的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4．
同理可得：BM=MP=

5

3

EM，MN=

5

3

MP=

25

9

EM，
FD=AF-AD=EM+MP-AD=EM+

5

3

EM-AD=

8

3

EM-AD=

8

3

EM-3，
∵EM+FN=MN，
∴EM+（

32

9

EM-4）=

25

9

EM，
解得：EM=

9

4

．
故：EM=

3

4

或

9

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解△BEM∽△MNP∽△ABD，三角形中三邊的比值，從而利用一邊表示另外的邊是關(guān)鍵．