Question

如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作⊙O的切線交AC邊于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）連結(jié)OC交DE于點F，若sin∠ABC=

3

4

，求

OF

FC

的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD．根據(jù)三角形中位線定理判定OD是△ABC的中位線，則OD∥AC，所以∠DEC=∠ODE=90°，即DE⊥AC；
（2）連接AD．通過解直角三角形得到sin∠ABC=

AD

AB

=

3

4

，故設(shè)AD=3x，則AB=AC=4x，OD=2x；由相似三角形△ADC∽△AED的對應(yīng)邊成比例得到AD²=AE•AC．則AE=

9

4

x，EC=

7

4

x，所以

OF

FC

=

OD

EC

=

8

7

．

解答：（1）證明：連接OD．
∵DE是⊙O的切線，
∴DE⊥OD，即∠ODE=90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴O是AB的中點．
又∵D是BC的中點，．
∴OD∥AC．
∴∠DEC=∠ODE=90°．
∴DE⊥AC；

（2）解：連接AD．
∵OD∥AC，
∴

OF

FC

=

OD

EC

．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
又∵D為BC的中點，
∴AB=AC．
∵sin∠ABC=

AD

AB

=

3

4

，
故設(shè)AD=3x，則AB=AC=4x，OD=2x．
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠DAC=∠EAD，
∴△ADC∽△AED．
∴

AD

AE

=

AC

AD

．
∴AD²=AE•AC．
∴AE=

9

4

x．
∴EC=

7

4

x．
∴

OF

FC

=

OD

EC

=

8

7

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．