Question

如圖（1），點(diǎn)A（2，6）、B（m，4）是反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象上兩點(diǎn)，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC、BD相交于點(diǎn)E，連接AB，CD．

（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為

y=

12

x

；m的值等于

3

；
（2）求證：AB∥CD；
（3）如圖（2），若點(diǎn)B（m，n）是圖（1）中雙曲線y=

k

x

(x＞0)上的動(dòng)點(diǎn)，且m＞2，其余條件不變．
①判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連接AD、BC，若AD=BC，直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A（2，6）、B（m，4）是反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象上兩點(diǎn)，首先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，可求得反比例函數(shù)的表達(dá)式，再將B（m，4）代入，即可求得m的值；
（2）由點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，易證得

AE

EC

=

BE

DE

=

1

2

，即可證得△AEB∽△CED，則可得∠EAB=∠ECD，繼而證得AB∥CD；
（3）①由點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（m，n），點(diǎn)B在第一象限，BD⊥y軸于點(diǎn)D，易得

AE

EC

=

6-n

n

，

BE

DE

=

m-2

2

，又由點(diǎn)B（m，n）在雙曲線y=

12

x

上，可證得

AE

EC

=

BE

DE

，即可證得△AEB∽△CED，則可得∠EAB=∠ECD，繼而證得AB∥CD；
②分別從當(dāng)AD與BC不平行時(shí)，此時(shí)四邊形ABCD是等腰梯形，與當(dāng)AD∥BC時(shí)，此時(shí)四邊形ABCD是平行四邊形，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（2，6）是反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象上的點(diǎn)，
∴6=

k

2

，
解得：k=12，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=

12

x

，
∵B（m，4）是反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象上的點(diǎn)，
∴4=

12

m

，
解得：m=3；
故答案為：y=

12

x

；3；

（2）證明：∵∠BDO=∠DOC=∠OCD=90°，
∴四邊形DOCE是矩形，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（2，6），
∴AC=6，OC=DE=2，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，4），
∴BD=3，OD=EC=4，
∴BE=BD-DE=1，AE=AC-CE=2，
∴

AE

EC

=

BE

DE

=

1

2

，
∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠EAB=∠ECD，
∴AB∥CD；

（3）①AB∥CD．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（m，n），點(diǎn)B在第一象限，BD⊥y軸于點(diǎn)D，
∴BD=m，CE=OD=n，
∵m＞2，
∴BE=m-2，AE=6-n，
∴

AE

EC

=

6-n

n

，

BE

DE

=

m-2

2

，
∵點(diǎn)B（m，n）在雙曲線y=

12

x

上，
∴n=

12

m

，
∴

AE

EC

=

6- 12 m

12 m

=

m-2

2

，
∴

AE

EC

=

BE

DE

，
∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠EAB=∠ECD，
∴AB∥CD；

②當(dāng)AD與BC不平行時(shí)，
此時(shí)四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，則m=BD=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2）；
當(dāng)AD∥BC時(shí)，此時(shí)四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE=CE=3，
∴n=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，3）．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2）或（4，3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．