Question

如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點D．
①若∠A=50°，則∠BDC=

115°

．
②若∠A=90°，則∠BDC=

135°

．
③若∠A=100°，則∠BDC=

140°

．
④猜想∠BDC與∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：根據(jù)角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠3+∠BDC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，利用等量代換得到2（180°-∠BDC）+∠A=180°，即有∠BDC=90°+

1

2

∠A；
（1）把∠A=50°代入∠BDC=90°+

1

2

∠A即可；
（2）把∠A=90°代入∠BDC=90°+

1

2

∠A即可；
（3）把∠A=100°代入∠BDC=90°+

1

2

∠A即可；
（4）∠BDC與∠A的數(shù)量關(guān)系為∠BDC=90°+

1

2

∠A．

解答：解：如圖，
∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3+∠BDC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，
∴2∠1+2∠3+∠A=180°，
∴2（180°-∠BDC）+∠A=180°，
∴∠BDC=90°+

1

2

∠A；
（1）當∠A=50°，∠BDC=90°+

1

2

×50°=115°；
（2）當∠A=90°，∠BDC=90°+

1

2

×90°=135°；
（3）當∠A=100°，∠BDC=90°+

1

2

×100°=140°；
（4）∠BDC與∠A的數(shù)量關(guān)系為∠BDC=90°+

1

2

∠A．理由如上．
故答案為115°，135°，140°．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查角平分線的定義．