Question

4．已知函數(shù)C₁：y=kx²+（$\frac{4}{3}$-3k）x-4．
（1）求證：無論k為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)？
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，（n-3，n-7）、（-n+1，n-7）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，
①求拋物線的表達(dá)式；
②求n；
（3）當(dāng)k≠0時(shí)，二次函數(shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，是否存在實(shí)數(shù)k，使△ABC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)k；若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

分析 （1）分類討論：①當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸必有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k≠0時(shí)，計(jì)算判別式得到△=（3k+$\frac{4}{3}$）²≥0，由此得出無論k為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；
（2）①由（n-3，n-7）、（-n+1，n-7）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出對(duì)稱軸為直線x=$\frac{n-3-n+1}{2}$=-1，再根據(jù)對(duì)稱軸公式得出-$\frac{\frac{4}{3}-3k}{2k}$=-1，解方程求出k的值，從而得出拋物線的表達(dá)式；
②將（n-3，n-7）代入y=$\frac{4}{15}$x²+$\frac{8}{15}$x-4，即可求出n的值；
（3）由二次函數(shù)的解析式求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，得出三點(diǎn)中有兩個(gè)定點(diǎn)（3，0），（0，-4），另一動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3k}$，0）．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，分AB為底邊、BC為底邊、AC為底邊三種情況求出另一動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出k的值．

解答 （1）證明：①當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，即y=$\frac{4}{3}$x-4，與x軸交于點(diǎn)（3，0）；
②當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，
∵△=（$\frac{4}{3}$-3k）²-4k×（-4）=（3k+$\frac{4}{3}$）²≥0，即△≥0，
∴與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)；
綜上可知，無論k為何值，函數(shù)圖象與x軸總有交點(diǎn)；

（2）①當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)C₁：y=kx²+（$\frac{4}{3}$-3k）x-4為二次函數(shù)，
∵（n-3，n-7）、（-n+1，n-7）是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{n-3-n+1}{2}$=-1，
∴-$\frac{\frac{4}{3}-3k}{2k}$=-1，解得k=$\frac{4}{15}$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=$\frac{4}{15}$x²+$\frac{8}{15}$x-4；

②∵（n-3，n-7）是拋物線y=$\frac{4}{15}$x²+$\frac{8}{15}$x-4上的點(diǎn)，
∴n-7=$\frac{4}{15}$（n-3）²+$\frac{8}{15}$（n-3）-4，
解得n₁=$\frac{19}{4}$，n₂=3；

（3）∵y=kx²+（$\frac{4}{3}$-3k）x-4，
∴當(dāng)y=0時(shí)，kx²+（$\frac{4}{3}$-3k）x-4=0，
解得x₁=3，x₂=-$\frac{4}{3k}$，
∴如果設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），那么B點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3k}$，0）．
∵x=0時(shí)，y=-4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）．
當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），（-2，0），（-$\frac{7}{6}$，0），（8，0），
當(dāng)-$\frac{4}{3k}$=-3時(shí)，k=$\frac{4}{9}$；
當(dāng)-$\frac{4}{3k}$=-2時(shí)，k=$\frac{2}{3}$；
當(dāng)-$\frac{4}{3k}$=-$\frac{7}{6}$時(shí)，k=$\frac{8}{7}$；
當(dāng)-$\frac{4}{3k}$=8時(shí)，k=-$\frac{1}{6}$．
綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)k的值為$\frac{4}{9}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{8}{7}$，-$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了函數(shù)圖象與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用分類討論以及方程思想是解題的關(guān)鍵．