Question

解不等式：（a²-1）x²+3ax+3＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式

專題：

分析：當(dāng)a²-1=0時(shí)，不等式是一元一次不等式，即可求解；
當(dāng)a²-1≠0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)y=（a²-1）x²+3ax+3的性質(zhì)即可，根據(jù)函數(shù)的開(kāi)口方向以及與x軸的交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可求解．

解答：解：1）當(dāng)a²-1=0，即a=1或-1時(shí)，不等式是一元一次不等式，當(dāng)a=1時(shí)，原式即3x+3＞0，解得：x＞-1；
當(dāng)a=-1時(shí)，原式即-3x+3＞0，解得：x＜1；
2）當(dāng)a²-1＞0時(shí)，即a＞1或a＜-1時(shí)，△=9a²-12（a²-1）=12-3a²＜0時(shí)，即a＞2或a＜-2時(shí)，不等式一定成立，此時(shí)不等式的解集是任意實(shí)數(shù)；
當(dāng)△=9a²-12（a²-1）=12-3a²＞0時(shí)，即-2＜a＜2時(shí)，此時(shí)即-2＜a＜-1或1＜a＜2時(shí)，解方程（a²-1）x²+3ax+3=0，得：x=

-3a± 12-3a2

2(a2-1)

，此時(shí)不等式的解集是：x＞

-3a+ 12-3a2

2(a2-1)

或x＜

-3a- 12-3a2

2(a2-1)

；
當(dāng)△=9a²-12（a²-1）=12-3a²=0時(shí)，a=±2，不等式即3a²±6x+3＞0，則x≠1或-1；
3）當(dāng)a²-1＜0時(shí)，即-1＜a＜1時(shí)，△=9a²-12（a²-1）=12-3a²＜0時(shí)，即a＞2或a＜-2時(shí)，不等式無(wú)解；
當(dāng)△=9a²-12（a²-1）=12-3a²＞0時(shí)，即-2＜a＜2，此時(shí)-1＜a＜1，解方程（a²-1）x²+3ax+3=0，得：x=

-3a± 12-3a2

2(a2-1)

，
此時(shí)不等式的解集是：

-3a- 12-3a2

2(a2-1)

＜x＜

-3a+ 12-3a2

2(a2-1)

；
△=9a²-12（a²-1）=12-3a²=0時(shí)，a=±2，此時(shí)，不成立．
總之，a=1時(shí)不等式的解集是：x＞-1；
當(dāng)a=-1時(shí)解集是：x＜1；
當(dāng)a＞1或a＜-1時(shí)，此時(shí)不等式的解集是任意實(shí)數(shù)；
-2＜a＜-1或1＜a＜2時(shí)，不等式的解集是：x＞

-3a+ 12-3a2

2(a2-1)

或x＜

-3a- 12-3a2

2(a2-1)

；
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，不等式的解集是：

-3a- 12-3a2

2(a2-1)

＜x＜

-3a+ 12-3a2

2(a2-1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解一元二次不等式的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是理解一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的圖象解決問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)a進(jìn)行分類討論，此題有一定的難度．