Question

在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=45°，點E為對角線BD的中點，連接AE并延長交線段BC于點F，AE=2

5

，BF=3，則AD的長為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：由于∠BAD=∠BCD=90°，點E為對角線BD的中點，根據(jù)圓周角定理的推論得點A和點C在以點E為圓心，BD為直徑的圓上，如圖，所以BD=2AE=4

5

，連接EC、AC，作CH⊥AD于H，再根據(jù)圓周角定理得到∠AEC=2∠ABC=90°，可判斷△EAC為等腰直角三角形，所以AC=

2

AE=2

10

，∠EAC=45°，然后證明△CAF∽△CBA，利用相似比得2

10

：（3+CF）=CF：2

10

，可求得CF=3，則BC=CF+BF=8；在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理計算出CD=4，接著根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質得∠CDH=∠ABC=45°，則△CDH為等腰直角三角形，則CH=DH=

2

2

CD=2

2

，于是可在Rt△AHC中，利用勾股定理計算出AH=4

2

，所以AD=AH-DH=2

2

．

解答：解：∵∠BAD=∠BCD=90°，點E為對角線BD的中點，
∴點A和點C在以點E為圓心，BD為直徑的圓上，如圖，則BD=2AE=4

5

，
連接EC、AC，作CH⊥AD于H，
∵∠AEC=2∠ABC=90°，
∴△EAC為等腰直角三角形，
∴AC=

2

AE=

2

•2

5

=2

10

，∠EAC=45°，
∴∠CAF=∠CBA，
而∠ACF=∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴CA：CB=CF：CA，即2

10

：（3+CF）=CF：2

10

，
整理得CF²+3CF-40=0，解得CF=3或CF=-8（舍去），
∴BC=CF+BF=8，
在Rt△ADC中，CD=

BD2-BC2

=

(4 5 )2-82

=4，
∵∠CDH=∠ABC=45°，
∴△CDH為等腰直角三角形，
∴CH=DH=

2

2

CD=

2

2

×4=2

2

，
在Rt△AHC中，AH=

AC2-CH2

=

(2 10 )2-(2 2 )2

=4

2

，
∴AD=AH-DH=4

2

-2

2

=2

2

．
故答案為2

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質和等腰直角三角形的性質；會運用勾股定理和相似比進行幾何計算．