如圖，△OAB是邊長為4+2
3
的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點，頂點B在y軸的正半軸上．將△精英家教網(wǎng)OAB折疊，使點A與OB邊上的點P重合，折痕與OA、AB的交點分別是E、F．如果PE∥x軸，
（1）求點P、E的坐標(biāo)；
（2）如果拋物線y=-
1
2
x2+bx+c經(jīng)過點P、E，求拋物線的解析式．
分析：（1）求E點的坐標(biāo)就要求出OP，PE的值，在直角三角形OPE中，∠POE=60°，因此OE=2OP，PE=
3
OP，而OA=OE+AE=2OP+
3
OP，據(jù)此可求出OP，OE，PE的長．由此求出P和E點的坐標(biāo)．
（2）將P、E的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
解答：解：（1）設(shè)OP=x，則OE=2x，PE=
3
x．
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=PE=
3
x，
則有OA=OE+AE=OE+PE=2x+
3
x=4+2
3
，
∴x=2，
∴OP=2，PE=2
3
，
因此P（0，2），E（2
3
，2）；

（2）將P、E坐標(biāo)代入拋物線可得：
-
1
2
×12+2
3
b+c=2
c=2
，
解得：
b=
3
c=2
，
∴拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+
3
x+2．
點評：本題著重考查了等邊三角形的性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)變換、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等重要知識點．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點A的直線y=-
3 
3
x+m與x軸交于點E．
（1）求點E的坐標(biāo)；
（2）求過A、O、E三點的拋物線解析式；
（3）若點P是（2）中求出的拋物線AE段上一動點（不與A、E重合），設(shè)四邊形OAPE的面積為S，求S的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點，頂點B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．
（1）當(dāng)A′E∥x軸時，求點A′和E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)A′E∥x軸，且拋物線y=-
1
6
x2+bx+c經(jīng)過點A′和E時，求拋物線與x軸的交點的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點A′在OB上運(yùn)動，但不與點O、B重合時，能否使△A′EF成為直角三角形？精英家教網(wǎng)若能，請求出此時點A′的坐標(biāo)；若不能，請你說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點，頂點B在y軸的正方向上，將△OAB折疊，使點A落在OB邊上，記為A′，折痕為EF．
（1）當(dāng)A′E∥x軸時，求點A'的坐標(biāo)和直線A′F所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在OB上是否存在點A′，使四邊形AFA′E是菱形？若存在，請求出此時點A′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點A′在OB上運(yùn)動但不與點O、B重合，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請求出此時點A′的坐標(biāo)；若不能，請你說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△OAB是邊長為2+
3
的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點，頂點B在y軸正方向上，將△OAB 折疊，使點A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．
（1）當(dāng)A′E∥x軸時，求點A′和E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)A′E∥x軸，且拋物線y=-
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x2+bx+c經(jīng)過點A′和E時，求拋物線與x軸的交點的坐標(biāo)．

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