Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象交于B，C兩點(diǎn)，與x軸交于D，E兩點(diǎn)，且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求線段BC的長及四邊形BDEC的面積S；
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵把x=0代入y=x+1得：y=1，
∴B（0，1），
∵把B、D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得：，
解得：b=-，c=1，
∴二次函數(shù)的解析式是y=x²-x+1．

（2）解方程組得：，，
∵B（0，1），
∴C（4，3），
把y=0代入y=x²-x+1得：x²-x+1=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
即D（1，0），E（2，0），
∵由勾股定理得：BC==2，
過C作CN⊥x軸于N，
則CN=3，NE=4-2=2，OD=OB=1，
∴四邊形BDEC的面積是S=S_梯形BONC-S_△BOD-S_△CNE=×（1+3）×4-×1×1-×2×3=4，
答：線段BC的長是2，四邊形BDEC的面積S是4．

（3）存在P點(diǎn)，
理由是：①P在x軸上時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，0），
∵B（0，1），C（4，3），
∴由勾股定理得：PB²=x²+1²，PC²=3²+（4-x）²，BC²=4²+（3-1）²=20，
∵P為直角頂點(diǎn)，
∴PC²+PB²=BC²，
∴x²+1^2₊3²+（4-x）²=20，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴P（1，0）或（3，0）；
②P在y軸上時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，y），
∵B（0，1），C（4，3），
∴由勾股定理得：PB²=（1-y）²，PC²=4²+（3-y）²，BC²=4²+（3-1）²=20，
∵P為直角頂點(diǎn)，
∴PC²+PB²=BC²，
∴（1-y）^2₊4²+（3-y）²=20，
解得：y₁=1，y₂=3，
∵B（0，1），
∴y₁=1（舍去），
∴P（0，3），
即存在P點(diǎn)，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，P的坐標(biāo)是（1，0）或（3，0）或（0，3）．
分析：（1）求出B的坐標(biāo)，把B、D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得出方程組，求出方程組的解即可；
（2）求出直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出C的坐標(biāo)，求出E的坐標(biāo)，過C作CN⊥x軸于N，根據(jù)圖象分別求出梯形BOEC、△BOD、△CNE的面積，即可求出答案；
（3）分為兩種情況：①P在x軸上時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，0），根據(jù)勾股定理求出PB²，PC²，BC²，根據(jù)PC²+PB²=BC²，求出x即可；②P在y軸上時(shí)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，y），根據(jù)PC²+PB²=BC²，得出方程（1-y）^2₊4²+（3-y）²=20，求出y即可．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)有用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，勾股定理，解一元二次方程，三角形的面積，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和推理的能力，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．