Question

如圖，在△ABC，，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且。

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若，，求BC和BF的長(zhǎng)。

Answer 1

  (1) 證明：連結(jié)AE. ∵ AB是圓O的直徑，

           ∴ ÐAEB=90°.∴Ð1+Ð2=90°.

           ∵ AB=AC, ∴ Ð1=ÐCAB. ∵ÐCBF=ÐCAB.

           ∴ Ð1=ÐCBF，∴ ÐCBF+Ð2=90°.

           ∵ 即ÐABF=90°. ∵ AB是圓O的直徑，

           ∴ 直線BF是圓O的切線。

 

 (2) [解] 過點(diǎn)C作CG^AB于點(diǎn)G，∵ sinÐCBF=，Ð1=ÐCBF，∴ sinÐ1=，

         ∵ ÐAEB=90°,AB=5, ∴BE=AB·sinÐ1=,

         ∵ AB=AC，ÐAEB=90°, ∴ BC=2BE=2,

         在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2,

         ∴ sinÐ2=，cosÐ2=，

         在Rt△CBG中，可求得GC=4,GB=2。

         ∴ AG=3， ∵ GC // BF，∴ △AGC ~ △ABF. ∴，∴ BF==.