Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，過點(diǎn)D作DE⊥AD交AB于E，以AE為直徑作⊙O．

（1）求證：點(diǎn)D在⊙O上；

（2）求證：BC是⊙O的切線；

（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面積．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：連接OD，

∵△ADE是直角三角形，OA=OE，∴OD=OA=OE。

∴點(diǎn)D在⊙O上。

（2）證明：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠DAB。

∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA�！唷螩AD=∠ODA。

∴AC∥OD�！唷螼DB=∠C=90°。

∴BC是⊙O的切線。

 （3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根據(jù)勾股定理得：AB=10。

設(shè)OD=OA=OE=x，則OB=10﹣x，

∵AC∥OD，∴△ACB∽△ODB�！�。

∴，解得：。

∴OD=，BE=10﹣2x=10﹣=。

∵，即，解得：BD=5。

過E作EH⊥BD，

∵EH∥OD，∴△BEH∽△BOD。

∴，即，解得：EH=。

∴S_△BDE=BD•EH=。

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由DO為直角三角形斜邊上的中線，得到OD=OA=OE，可得出點(diǎn)D在圓O上。

（2）由AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，再由OD=OA，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等即可得到∠ODB為直角，即BC與OD垂直，即可確定出BC為圓O的切線。

（3）過E作EH垂直于BC，由OD與AC平行，得到△ACB與△ODB相似，設(shè)OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OD與BE的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出BD的長(zhǎng)，再由△BEH與△ODB相似，由相似得比例求出EH的長(zhǎng)，△BED以BD為底，EH為高，求出面積即可。