Question

1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點O作OM∥BC，交AC于點M．
（1）求∠AMO；
（2）延長OM交⊙O于點E，過E作⊙O的切線，交BC延長線于點F，連接FM，并延長FM交AB于點G．
①試判斷四邊形CFEM的形狀，并說明理由；
②若AG=2，CM=3，求四邊形CFEM的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行同位角相等即可解決問題．
（2）①先證明四邊形CFEM是平行四邊形，再證明有一個角為90°即可．
②連接AE，只要證明OG=OM，即可得到EM=AG，即可解決問題．

解答 解：（1）∵AB為直徑，
∴∠BCA=90°，
∵OM∥BC，
∴∠AMO=∠BCA=90°．
（2）①四邊形CMEF為矩形，理由如下：
∵EF與⊙O相切于點E，
∴∠OEF=90°，
∵∠OMA=∠OMC=∠OEF=90°，
∴EF∥MC，
∵OM∥BC，
∴EM∥FC，
∴四邊形CMEF為平行四邊形，
∵∠OEF=90°，
∴四邊形CMEF為矩形．
②解：連接AE，
∵O為AB的中點，OM∥BC
∴M為AC的中點，即有CM=AM，
∵四邊形CMEF是矩形，
∴AM=CM=EF，
又∵AC∥EF，
∴AMFE為平行四邊形，
∴FM∥AE，即GM∥AE，
∴∠OMG=∠OEA，∠OGM=∠OAE
∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠OMG=∠OGM，
∴OM=OG
∵OE=OM+ME=OA=OG+GA，
∴ME=GA=2，
∴矩形CMEF的面積為：CM×ME=3×2=6．

點評 本題考查圓的有關知識、等腰三角形的判定好性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是平行四邊形AEFM的發(fā)現(xiàn)，需要靈活應用這些知識，屬于中考�？碱}型．