Question

如圖，已知拋物線的對稱軸是x＝4，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．O點是坐標(biāo)原點，且A、C的坐標(biāo)分別為(2，0)和(0，3)．

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)拋物線上有一點P，滿足∠PBC＝，求P點的坐標(biāo)；

(3)y軸上是否存在點E，使得△AOE與以P、B、C為頂點的三角形相似？若存在，求出E點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)設(shè)x＝4與x軸交于D點，則D(4，0)，又A(2，0)，且A，B關(guān)于直線x＝4對稱．故BD＝AD＝2．從而B(6，0)． 　　設(shè)y＝ax2＋bx＋c，則由C(0，3)得c＝3．由A(2，0)，B(6，0)知2和6是方程 　　ax2＋bx＋3＝0的兩根．故　　解得 　　故該拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x＋3． 　　(2)過P作PF⊥x軸于點F，則∠PBF＝－∠PBC－∠OBC＝－∠OBC＝∠OCB． 　　又∠BOC＝∠PFB，所以△PBF∽△BCO，從而＝． 　　又OB＝6，OC＝3，故PF＝2BF． 　　設(shè)BF＝m，則PF＝2m，OF＝6＋m．故點P的坐標(biāo)為(6＋m，2m)． 　　由點P在拋物線上，得2m＝(6＋m)2－2(6＋m)＋3，即m2－m＝0． 　　解這個方程，得：m1＝0(舍去)，m2＝4．故P(10，8)． 　　(3)存在．E點坐標(biāo)為(0，)，(0，－)，(0，)和(0，－)． 　　設(shè)E點坐標(biāo)為(0，n)．由已知得BC＝＝3，PB＝＝4． 　　若△AOE∽PBC，則＝，∴＝，n＝±． 　　∴所求E點的坐標(biāo)為(0，)和(0，－)， 　　若△AOE∽△CBP，則＝，∴＝，n＝±． 　　∴所求E點的坐標(biāo)為(0，)和(0，－)． 　　[剖析](1)拋物線與x軸兩交點關(guān)于其對稱軸對稱，故AD＝BD；(2)先讓△PBF∽△BCO，由此得到PF與BF的關(guān)系，再用m的代數(shù)式表示P點的坐標(biāo)(由于P點只可能在第一象限，故不需討論)，然后將P點坐標(biāo)代入表達(dá)式，得到關(guān)于m的方程，解方程可求m的值；(3)由于題目未告知兩三角形的相似方式，故需分兩種情況討論，又由于E點既可在y軸正半軸上，也可在y軸負(fù)半軸上，故OE＝|n|．