Question

14．已知等腰三角形ABC中，AC=BC，AF∥BC，線段CF的垂直平分線DE與AB交于點E，連接EF，EC．
（1）如圖1，若∠ACB=90°直接寫出∠FEC與∠B之間的數(shù)量關(guān)系是∠FEC=2∠B．
（2）如圖2，若∠ACB＜90°，判斷∠FEC與∠B的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．
（3）如圖3，在（1）的條件下，延長BA與CF交于點N，若BC=$\sqrt{3}$+3，∠AEF=15°，AF=3-$\sqrt{3}$，求EN的長．

Answer 1

分析 （1）取AB中點M，由△ABC是等腰直角三角形知∠B=∠BCM=45°、∠CME=90°，由DE垂直平分CF知∠FEC=2∠FED=2∠CED、∠EDC=90°，得點C、D、E、M四點共圓即∠CED=∠CMD=45°，故∠FEC=2∠B=90°；
（2）與（1）同理證∠FEC=2∠BCM，根據(jù)AC=BC、M是AB中點知∠BCM=90°-∠B，可得；
（3）分別求DM、DF的長，證△NAF～△NMD可求DN的長，在RT△DEN中根據(jù)勾股定理可得NE的長．

解答 解（1）如圖1，取AB中點M，連接MC、MD、AD．

∵AC=BC，∠ACB=90°，AF∥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，四邊形ABCF是梯形，
∴CM⊥AB，∠BCM=∠B=45°，
∵DE垂直平分CF，
∴∠CED=∠FED，DM是梯形ABCF的中位線，
∴DM∥BC∥AF，
∴∠CMD=∠BCM=∠45°，
∵DE⊥CF，
∴∠CME=∠CDE=90°，
∴點C、D、E、M四點共圓，
∴∠FDE=∠CED=∠CMD=45°，
∴∠FEC=2∠CED=90°=2∠B；
（2）∠CEF=180°-2∠B，
如圖2，取AB中點M，連接CM、DM，

與（1）同理，∠FED=∠CED=∠CMD=∠BCM，
∴∠FEC=2∠BCM，
又∵AC=BC，M是AB中點，
∴CM⊥AB，
∴∠BCM=90°-∠B，
∴∠FEC=2（90°-∠B）=180°-2∠B；
（3）如圖3，取AB中點M，連接CM、DM，

由（1）知，DM是梯形ABCF的中位線，且AC=BC=$3+\sqrt{3}$，AF=$3-\sqrt{3}$，
∴DM=$\frac{1}{2}$（AF+BC）=3，
∵∠CEF=2∠B=90°，DE垂直平分CF，
∴CF=$\sqrt{A{C}^{2}+A{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴DE=DF=$\frac{1}{2}$CF=$\sqrt{6}$，
又∵AF∥MD，
∴△NAF～△NMD，
∴$\frac{NF}{ND}=\frac{DN-DF}{DN}=\frac{AF}{MD}$，即$\frac{DN-\sqrt{6}}{DN}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，
解得：DN=3$\sqrt{2}$，
在RT△DEN中，EN=$\sqrt{D{N}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
故答案為：∠FEC=2∠B．

點評 本題主要考查梯形中位線定理、等腰三角形性質(zhì)、中垂線性質(zhì)等，作底邊上中線將待求角與已知角聯(lián)系到一起是關(guān)鍵．