Question

17．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD對(duì)角線AC上，且EC=2.5AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，CD于M，N．若正方形邊長(zhǎng)是a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（　�。�

• A． $\frac{25}{49}$a²
• B． $\frac{12}{25}$a²
• C． $\frac{7}{9}$a²
• D． $\frac{16}{25}$a²

Answer 1

分析 過(guò)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．

解答 解：過(guò)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵△FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠NEQ}&{\;}\\{EF=EQ}&{\;}\\{∠EPM=∠EQN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S_△EQN=S_△EPM，
∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，
∴AC=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∵EC=2.5AE，
∴EC=$\frac{5\sqrt{2}}{7}$a，
∴正方形PCQE的面積=$\frac{1}{2}$×（$\frac{5\sqrt{2}}{7}$a）²=$\frac{25}{49}$a²，
∴四邊形EMCN的面積=$\frac{25}{49}$a²．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．