Question

設(shè)凸四邊形O₁O₂O₃O₄的周長為l，以頂點(diǎn)O₁，O₂，O₃，O₄為圓心作四個(gè)半徑為R的圓輪．如果帶動四個(gè)圓輪轉(zhuǎn)動的皮帶長為s，求s的長度（如圖）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，皮帶長等于凸四邊形O₁O₂O₃O₄的周長再加上一個(gè)圓的周長．

解答：解：（1）先解一個(gè)特例（如圖）．設(shè)只有兩個(gè)圓輪⊙O₁，⊙O₂，2|O₁O₂|=l'．
顯然，帶動兩輪轉(zhuǎn)動的皮帶長度為
s=l'+2πR．


（2）再回到原題，我們猜想：
s=l+2πR．
以下證實(shí)這個(gè)猜想是正確的．
為此，設(shè)皮帶s與各圓輪接觸的四個(gè)弧為

A1A8

，

A2A3

，

A4A5

，

A6A7

由于它們是等圓上的弧，因此，只要證出這四條弧恰好組成一個(gè)圓即可．
事實(shí)上，引O₁A'₃∥O₂A₃，由于O₁A₁∥O₂A₂，所以∠A₁O₁A'=∠A₂O₂A₃，∴

A1A3′

=

A2A3

．同理，
引O₁A′₆∥O₄A₆，則

A8A6′

=

A7A6

．又由于∥O₂A₃，O₂A₃∥O₁A₃′∴O₃A₄∥O₁A₃′．同理，O₃A₅∥O₁A′，∴∠A₄O₃A₅=∠A′₃O₁A′₆，∴

A4A5

=

A′3A′6

∴這四段弧恰好組成一個(gè)以O(shè)₁為圓心，以R為半徑的圓．因此，四圓弧之長為2πR．又因?yàn)镺₁O₂=A₁A₂，O₂O₃=A₃A₄，O₃O₄=A₅A₆，O₁O₄=A₇A₈，所以
l=A₁A₂+A₃A₄+A₅A₆+A₇A₈．
所以，所求皮帶長為s=l+2πR．

點(diǎn)評：本題考查了弧長的有關(guān)計(jì)算，把握好弧長公式是解決此題的關(guān)鍵．