Question

如圖，在△ADE中，AE=DE，以DE中點(diǎn)C為圓心，CD為半徑的圓分別交AD、AE于F、M兩點(diǎn)．
（1）求證：AF=DF；
（2）過(guò)F作⊙C的切線交ED延長(zhǎng)線于B，交AE于N，求證：BN⊥AE；
（3）連AB，若BD=9，且

DF

DE

=

3

5

，求△ABD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由DE為圓C的直徑可得EF⊥AD，再由等腰三角形的性質(zhì)即可證明AF=DF；
（2）由圓的切線性質(zhì)可得∠BFC=90°，進(jìn)而可證明CF∥AE，所以∠BNE=∠BFC=90°，即BN⊥AE；
（3）作AH⊥BE，因?yàn)椤螧FD=∠BEF，∠FBD=∠EBF，所以△BDF∽△BEF，由相似三角形的性質(zhì)可得DF：EF=BD：BE，進(jìn)而可求出BE=12，DE=BE-BD=12-9=3，所以DF=

9

5

，EF=

12

5

，利用S_△ABD=

1

2

BD×AH計(jì)算即可．

解答：（1）證明：∵DE是直徑，
∴∠DFE=90°，
即EF⊥AD，
∵AE=DE，
∴AF=DF
（2）證明：∵BN是圓C的切線，
∴CF⊥BF，
即∠BFC=90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AEF=∠DEF=∠CEF，
∵CF=CE，
∴∠CFE=∠CEF=∠AEF，
∴CF∥AE，
∴∠BNE=∠BFC=90°，
∴BN⊥AE；
（3）∵△DEF是直角三角形，DF：DE=3：5，
∴DF：EF=3：4，
∵∠BFD=∠BEF，∠FBD=∠EBF，
∴△BDF∽△BFE，
∴DF：EF=BD：BF，即9：BE=3：4，
∴BE=12，
∴DE=BE-BD=12-9=3，
∴DF=

9

5

，EF=

12

5

∴AD=2DF=2×

9

5

=

18

5

作AH⊥BE，
∴EF×AD=DE×AH，
∴AH=EF×

AD

DE

=

216

75

，
∴S_△ABD=

1

2

BD×AH=

1

2

×9×

216

75

=12.96．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及垂直的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高．