Question

設(shè)x₁，x₂是方程x²-x-1=0的兩個根，則代數(shù)式x₁³+2x₂+x₁•x₂的值為

 

．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，再利用x₁是方程x²-x-1=0的根得到x₁²-x₁-1=0，則x₁²=x₁+1，接著變形得到x₁³=2x₁+1，則x₁³+2x₂+x₁•x₂=2（x₁+x₂）+2x₁x₂，然后利用整體代入得方法計算．

解答：解：根據(jù)題意得x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
∵x₁是方程x²-x-1=0的根，
∴x₁²-x₁-1=0，
∴x₁²=x₁+1，
∴x₁³=x₁（x₁+1）=x₁²+x₁=x₁+1+x₁=2x₁+1，
∴x₁³+2x₂+x₁•x₂=2x₁+1+2x₂+x₁•x₂=2（x₁+x₂）+2x₁x₂=2×1+2×（-1）=0．
故答案為0．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程解的定義．