Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-n），拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線(xiàn)段AB交y軸于點(diǎn)C．已知實(shí)數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x²-2x-3=0的兩根．
（1）求直線(xiàn)AB和OB的解析式．
（2）求拋物線(xiàn)的解析式．
（3）若點(diǎn)P為線(xiàn)段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線(xiàn)PC與拋物線(xiàn)交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接OD、BD．問(wèn)△BOD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）首先解方程得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定直線(xiàn)AB和直線(xiàn)OB的解析式即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）利用S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，進(jìn)而得出最值即可．

解答：解（1）解方程x²-2x-3=0，
得 x₁=3，x₂=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b
∴

-k+b=-1 3k+b=-3

，
解得：

k=- 1 2 b=- 3 2

，
所以直線(xiàn)AB的解析式為y=-

1

2

x-

3

2

；
設(shè)直線(xiàn)OB的解析式為y=kx，
∴3k=-3，
解得：k=-1，
∴直線(xiàn)OB的解析式為y=-x；

（2）∵拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx（a≠0）．
∴

a-b=-1 9a+3b=-3

，
解得：

a=- 1 2 b= 1 2

，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x．

（3）△BOD的面積是存在最大值；
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過(guò)B作BH⊥x軸，垂足為H．
設(shè)Q（x，-x），D（x，-

1

2

x²+

1

2

x）．
S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ=

1

2

DQ•OG+

1

2

DQ•GH，
=

1

2

DQ（OG+GH），
=

1

2

[x+（-

1

2

x²+

1

2

x）]×3，
=-

3

4

（x-

3

2

^）2+

27

16

，
∵0＜x＜3，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S取得最大值為

27

16

，此時(shí)D（

3

2

，-

3

8

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積求法等知識(shí)，求面積最值經(jīng)常利用二次函數(shù)的最值求法得出．