【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=12,BC=,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上,且BP=6.一動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)A點(diǎn)后,立即以原速度沿AO返回;另一動(dòng)點(diǎn)F從P點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線PA勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā),當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以EF為邊作等邊△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒().

(1)當(dāng)t= 時(shí),等邊△EFG的邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí);

(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S,請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍;

(3)設(shè)EG與矩形ABCD的對(duì)角線AC的交點(diǎn)為H,是否存在這樣的t,使△AOH是等腰三角形?若存在,求出對(duì)應(yīng)的t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1t2

2)當(dāng)0≤t2時(shí),S= 4t16;當(dāng)2≤t6時(shí),S= t 2+6t;當(dāng)6≤t8時(shí),S= 8t80;當(dāng)8≤t12時(shí),S=t224t144;

3)存在5個(gè)這樣的值,使AOH是等腰三角形,即: t=62t=62t=4t=8t=0

【解析】試題分析:(1)當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),∠CFB=60°,BF=6-t,在Rt△CBF中,解直角三角形可求t的值;(2)按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點(diǎn),分為0≤t<2,2≤t<6,6≤t<8,8≤t<12四種情況,分別寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式;(3)存在.當(dāng)△AOH是等腰三角形時(shí),分為AH=AO=6,HA=HO,OH=OA三種情況,分別畫(huà)出圖形,根據(jù)特殊三角形的性質(zhì),列方程求t的值.

試題解析:(1)當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),∠CFB=60°,BF=6t,

在Rt△CBF中,BC=2,

∴tan∠CFB=,

∴tan60°=

=,

∴t=4,

∴當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),時(shí)間為t=4,

(2)如圖1,

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB,

①當(dāng)0t<2時(shí),如圖1,

∵tan60°===,

∴NE=4,

∵EB=6+t,NB=6+t4=2+t,

∴MC=2+t,

∴S= (MC+EB)×BC= (2+t+6+t)×4=4t+16;

②當(dāng)2t<6時(shí),如圖2,

∵M(jìn)N=4,EF=OP=12,

∴GH=12×=6,

=,

∴MK=4,

∵EB=6+t,BF=6t,BQ=

∴BQ= (6t),CQ=4BQ=t2.

∴S=S梯形MKFES△QBF=(MK+EF)×MNBF×BQ==t2+6t+14;

③如圖3,

當(dāng)6t<8時(shí),

∵M(jìn)N=4,EF=122(t6)=242t,

∴GH=(242t)×= (12t),

=,

∴MK=162t,

∴S= (MK+EF)×MN= (162t+242t)×4=8t+80

④如圖4,

當(dāng)8t<12時(shí),

∵EF=242t,高為:EF×sin60°=EF= (242t)

S=EF×EF= (242t) 2 =t224t+144

(3)存在,理由如下:

在Rt△ABC中,tan∠CAB= =

∴∠CAB=30°.

又∵∠HEO=60°,

∴∠HAE=∠AHE=30°.

∴AE=HE=6t或t6.

(Ⅰ)當(dāng)AH=AO=6時(shí),如圖5,

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AH于M,則AM=AH=3.

在Rt△AME中,cos∠MAE=

∴AE=2,

即6t=2或t6=2,t=62或6+2.

(Ⅱ)當(dāng)HA=HO時(shí),如圖6,

則∠HOA=∠HAO=30°,

又∵∠HEO=60°,

∴∠EHO=90°.

∴EO=2HE=2AE.

又∵AE+EO=6,

∴AE+2AE=6.

∴AE=2.

即6t=2或t6=2,

t=4或8.

(Ⅲ)當(dāng)OH=OA時(shí),如圖7,

則∠OHA=∠OAH=30°,

∴∠HOB=60°=∠HEB.

∴點(diǎn)E和O重合,

∴AE=6.

即6t=6或t6=6,

t=12(舍去)或t=0.

綜上所述,存在5個(gè)這樣的值,使△AOH是等腰三角形,即:t=62或t=6+2或t=4或t=8或t=0.

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