【題目】如圖,正三角形的邊長(zhǎng)為

如圖①,正方形的頂點(diǎn)在邊上,頂點(diǎn)在邊上,在正三角形及其內(nèi)部,以點(diǎn)為位似中心,作正方形的位似正方形,且使正方形的面積最大(不要求寫(xiě)作法);

中作出的正方形的邊長(zhǎng);

如圖②,在正三角形中放入正方形和正方形,使得、在邊上,點(diǎn)、分別在邊、上,求這兩個(gè)正方形面積和的最大值和最小值,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)如答圖①利用位似圖形的性質(zhì),作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N(xiāo)′,即為所求.(2)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系,利用等式E′F+AE′+BF′=AB,列方程求得正方形E′F′P′N(xiāo)′的邊長(zhǎng)即可.(3)設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n(m≥n),求得面積和的表達(dá)式S= ,①當(dāng)m=n時(shí),S取得最小值;

②當(dāng)m最大而n最小時(shí),S取得最大值.結(jié)合第(1)(2)問(wèn)m最大n最小的情形即可求得S的最大值.

如圖①,正方形即為所求.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,

∵△ABC為正三角形,

,

,

,即,(也正確)

如圖②,連接、,則

設(shè)正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為、

它們的面積和為,則,

,

延長(zhǎng)于點(diǎn),則,

中,,

,即,化簡(jiǎn)得,

,

①當(dāng)時(shí),即時(shí),最小,

②當(dāng)最大時(shí),最大,

即當(dāng)最大且最小時(shí),最大,

知,,

,(也正確)

綜上所述,,;

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖,某人在大樓30米高(PH=30)的窗口P處進(jìn)行觀測(cè),測(cè)得山坡上A處的俯角為15°,山腳B處的俯角為60°,已知該山坡的坡度i1,點(diǎn)P,H,B,C,A在同一個(gè)平面上,點(diǎn)H,B,C在同一條直線上,PHHC.A,B兩點(diǎn)間的距離是(  )

A. 15 B. 20 C. 20 D. 10

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l是第一、三象限的角平分線.

實(shí)驗(yàn)與探究:

1)由圖觀察易知A0,2)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(2,0),請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B53)、C﹣2,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′、C′的位置,并寫(xiě)出他們的坐標(biāo):B′   C′   ;

歸納與發(fā)現(xiàn):

2)結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo),你會(huì)發(fā)現(xiàn):坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)Pab)關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為   ;

運(yùn)用與拓廣:

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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)PCD邊上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,分別過(guò)點(diǎn)B、DBEPADFPA,垂足分別為EF,如圖①。

1)請(qǐng)?zhí)骄?/span>BE、DF、EF這三條線段的長(zhǎng)度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由。

2)若點(diǎn)PDC的延長(zhǎng)線上,如圖②,那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫(xiě)出結(jié)論。

3)若點(diǎn)PCD的延長(zhǎng)線上呢,如圖③,直接寫(xiě)出結(jié)論。

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【題目】如圖,在RtABC中,∠B=90°,AC為斜邊向外作等腰直角三角形COA,已知BC=8,OB=10,則另一直角邊AB的長(zhǎng)為__________.

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【題目】如圖1,ABC中,AGBC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn),分別以AB、AC為直角邊,向ABC作等腰RtABE和等腰RtACF,過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q。

1)求證:⊿AEP≌⊿BAG

2)試探究EPFQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

3)如圖2,若連接EFGA的延長(zhǎng)線于H,由(2)中的結(jié)論你能判斷EHFH的大小關(guān)系嗎?并說(shuō)明理由;

4)在(3)的條件下,若BC=AG=10,請(qǐng)直接寫(xiě)出SAEF= .

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【題目】如圖,點(diǎn)四點(diǎn)在一條直線上,.老師說(shuō):再添加一個(gè)條件就可以使.下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言,甲說(shuō):添加;乙說(shuō):添加;丙說(shuō):添加.

1)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)說(shuō)法正確的是________

2)請(qǐng)你從正確的說(shuō)法中選擇一種,給出你的證明.

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【題目】如圖,已知點(diǎn)A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo);

(2)寫(xiě)出從線段AB到線段CD的變換過(guò)程;

(3)求△AOB的面積.

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【題目】某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶(hù)進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖.已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元,在整個(gè)銷(xiāo)售旺季的80天里,銷(xiāo)售單價(jià)p(/千克)與時(shí)間第t()之間的函數(shù)關(guān)系為:

p=,日銷(xiāo)售量y(千克)與時(shí)間第t()之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求日銷(xiāo)售量y與時(shí)間t的函數(shù)解析式;

(2)哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

(3)該養(yǎng)殖戶(hù)有多少天日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于2 400元?

(4)在實(shí)際銷(xiāo)售的前40天中,該養(yǎng)殖戶(hù)決定每銷(xiāo)售1千克小龍蝦,就捐贈(zèng)m(m<7)元給村里的特困戶(hù).在這前40天中,每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大,求m的取值范圍.

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