Question

（2010•昆明）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)O（0，0）、A（4，0）、E（3，）三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）以O(shè)A的中點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線l，且l與x軸的夾角為30°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（注意：本題中的結(jié)果可保留根號(hào)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線的一般式，將O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，解方程組即可；
（2）存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點(diǎn)B，與⊙M相切于點(diǎn)C，連接MC，過(guò)C作CD⊥x軸于D，在Rt△BMC中，CM為半徑，∠CBM=30°，可求BM，從而可求B點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△CDM中，∠CMD=60°，CM為半徑，可求CD、DM，OD=OM--DM，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)“兩點(diǎn)法”求直線BC解析式，聯(lián)立直線解析式、拋物線解析式，解方程組可求P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形的對(duì)稱性求另外兩點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0）
由題意得：（1分）
解得：（2分）
∴拋物線的解析式為：（3分）

（2）存在（4分）
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，作拋物線和⊙M（如圖），
設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點(diǎn)B，與⊙M相切于點(diǎn)C
連接MC，過(guò)C作CD⊥x軸于D
∵M(jìn)C=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC
∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4，
∴B（-2，0）
在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1，CD==∴C（1，）
設(shè)切線l的解析式為：y=kx+b（k≠0），點(diǎn)B、C在l上，
可得：
解得：
∴切線BC的解析式為：
∵點(diǎn)P為拋物線與切線的交點(diǎn)，
由，
解得：，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，；
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2
此拋物線、⊙M都與直線x=2成軸對(duì)稱圖形
于是作切線l關(guān)于直線x=2的對(duì)稱直線l′（如圖）
得到B、C關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)B₁、C₁
直線l′滿足題中要求，由對(duì)稱性，
得到P₁、P₂關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)：，即為所求的點(diǎn)；
∴這樣的點(diǎn)P共有4個(gè)：，，，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線、直線解析式的求法，圓的切線的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)．