Question

如圖，這是當初中央電視臺設計臺徽時的模型，它是以正方形ABCD的每個頂點為圓心，每邊長為半徑畫圓弧交于E、F、G、H．若邊長AB=4cm，則點F到BC的距離是

 

，圍成的曲邊四邊形EFGH的周長是

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質,等邊三角形的性質,弧長的計算

專題：

分析：連接AF、DF，根據(jù)圓的定義判斷出△ADF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質求出點F到AD的距離，再求出點F到BC的距離即可；根據(jù)正方形和等邊三角形的性質求出∠BAF=30°，同理可得弧DG的圓心角是30°，然后求出弧FG的圓心角是30°，再根據(jù)弧長公式求出弧FG的長，然后根據(jù)對稱性，曲四邊形的四條邊都相等列式計算即可得解．

解答：解：如圖，連接AF、DF，
由圓的定義，AD=AF=DF，
所以，△ADF是等邊三角形，
所以，點F到AD的距離=

3

2

×4=2

3

，
所以，點F到BC的距離=（4-2

3

）cm；

∵∠BAD=90°，∠FAD=60°，
∴∠BAF=90°-60°=30°，
同理，弧DG的圓心角是30°，
∴弧FG的圓心角是90°-30°×2=30°，
∴

FG

=

30•π•4

180

=

2

3

π，
由對稱性知，曲四邊形的四條邊都相等，
所以，曲邊四邊形EFGH的周長=

2

3

π×4=

8

3

πcm．
故答案為：（4-2

3

）cm；

8

3

πcm．

點評：本題考查了正方形的性質，等邊三角形的判定，弧長的計算，作輔助線構造成等邊三角形是解題的關鍵，難點在于熟練掌握圖形的對稱性．