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7.如圖,拋物線y=12x2+bx-2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(-1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,當△ACM的周長最小時,求點M的坐標.

分析 (1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,根據(jù)配方法,可得頂點坐標;
(2)根據(jù)勾股定理的逆定理,可得答案;
(3)根據(jù)軸對稱的性質(zhì),兩點之間線段最短,可得M點是對稱軸與BC的交點,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關(guān)系,可得答案.

解答 解:(1)∵點A(-1,0)在拋物線y=x2+bx-2上,
12×(-1)2+b×(-1)-2=0,
解得 b=-32
∴拋物線的解析式為y=12x2-32x-2.
∵y=12x2-32x-2=12(x-322-258
∴頂點D的坐標為(32,-258);
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
當x=0時,y=-2,
∴C(0,-2),則OC=2.
當y=0時,12x2-32x-2=0,
∴x1=-1,x2=4,則B(4,0),
∴OA=1,OB=4,
∴AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)由題意A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱,故直線BC與對稱軸的交點即為點M.
由B(4,0),C(0,-2)
設(shè)直線BC:y=kx-2
4k-2=0,
k=12
所以直線BC:y=12x-2.
當x=32時,y=12×32-2=-54
所以M(32,-54).

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀;利用軸對稱的性質(zhì)得出M是BC與對稱軸的交點是解題關(guān)鍵.

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