Question

（2013•崇左）拋物線y=-x²平移后的位置如圖所示，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，0），設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．
（1）求平移后的拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)P在平移后的拋物線的對(duì)稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平移不改變二次項(xiàng)系數(shù)a的值，且平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），可知平移后拋物線的表達(dá)式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，再運(yùn)用配方法化為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出∠OBC=∠OCB=45°，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，則由正切函數(shù)的定義求出tan∠CBD=

1

3

，在△AOC中，由正切函數(shù)的定義也求出tan∠ACO=

1

3

，得出∠ACO=∠CBD，則∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD；
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，n），先由相似三角形的形狀相同，得出△CDP是銳角三角形，則n＜4，再根據(jù)∠CDP=∠ABC=45°，得到D與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①△CDP∽△ABC；
②△CDP∽△CBA．根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出關(guān)于n的方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵將拋物線y=-x²平移，平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），
∴平移后的拋物線的表達(dá)式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，即y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）∠ACB與∠ABD相等，理由如下：
如圖，∵y=-x²+2x+3，
∴點(diǎn)x=0時(shí)，y=3，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
又∵B（3，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．
在△BCD中，∵BC²=3²+3²=18，CD²=1²+1²=2，BD²=2²+4²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD=

CD

BC

=

2 18

=

1

3

，
∵在△AOC中，∠AOC=90°，
∴tan∠ACO=

OA

OC

=

1

3

，
∴tan∠ACO=tan∠CBD，
∴∠ACO=∠CBD，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，
即∠ACB=∠ABD；

 （3）∵點(diǎn)P在平移后的拋物線的對(duì)稱軸上，而y=-x²+2x+3的對(duì)稱軸為x=1，
∴可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，n）．
∵△ABC是銳角三角形，
∴當(dāng)△CDP與△ABC相似時(shí)，△CDP也是銳角三角形，
∴n＜4，即點(diǎn)P只能在點(diǎn)D的下方，
又∵∠CDP=∠ABC=45°，
∴D與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，分兩種情況：
①如果△CDP∽△ABC，那么

CD

AB

=

DP

BC

，
即

2

4

=

4-n

3 2

，
解得n=

5

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

5

2

）；
②如果△CDP∽△CBA，那么

CD

CB

=

DP

AB

，
即

2

3 2

=

4-n

4

，
解得n=

8

3

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

8

3

）．
綜上可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

5

2

）或（1，

8

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的平移規(guī)律，對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，勾股定理及其逆定理，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．兩個(gè)三角形相似沒(méi)有明確對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．