Question

在平面直角坐標系中，拋物線的頂點坐標為（1，-4），交x軸于A、B兩點（A點在B點的左邊），交y軸于點C，已知A、B兩點之間的距離為4．
（1）求這個拋物線的解析式及C點坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點間的距離之差最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸上方平行于x軸的一條直線y=m交拋物線于M、N兩點，在x軸上是否存在一點Q，使△QMN為等腰直角三角形？若存在，求出相對應的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，A（-1，0），B（3，0），頂點（1，-4）
∴解方程組：，
解得：a=1，b=-2，c=-3．
∴這個拋物線的解析式：y=x²-2x-3．
∵C點是拋物線與y軸的交點．
∴C（0，-3）；

（2）∵P在拋物線的對稱軸上，
又∵A、B是關于拋物線的對稱軸對稱，
∴PB=PA，
即：|PB-PC|=|PA-PC|，（根據(jù)對稱性，求P到B和C的距離之差就是求P到A和C的距離之差）
∴P、C、A三點共線的時候這個差最大．
∴連接AC并延長與拋物線對稱軸交于一點P即為所求．
∴根據(jù)A、C兩點求出AC的方程：y=-3x-3
∴AC與對稱軸x=1的交點P坐標為（1，-6）．

（3）假設存在一點Q，使△QMN為等腰直角三角形，
分三種情況：MQ=MN與NQ=MN時不成立，
若QN=QM，
則可得Q₁（2，0），
∴m=3．
分析：（1）根據(jù)題意可得出A，B兩點的坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性可得|PB-PC|=|PA-PC|，即P、C、A三點共線的時候這個差最大，得點P坐標為（1，-6）；
（3）先假設存在一點Q，使△QMN為等腰直角三角形，再按此條件計算，分類討論可得出結果．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結合和分類討論等數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．