Question

如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）在什么條件下，四邊形AFDE是正方形？

Answer 1

分析：（1）利用“HL”證明Rt△BDF≌Rt△CDE，即可得到∠B=∠C，進一步即可求解；
（2）當∠A=90°時，由已知可證明它是矩形，因為有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正方形．

解答：（1）證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∵

BD=CD BF=CE

，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）答：當∠A=90°時，四邊形AFDE是正方形．
理由如下：
∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四邊形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF=DE，
∴四邊形AFDE是正方形．

點評：本題主要考查學生對全等三角形的判定和性質及正方形的判定方法的掌握情況．